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1、八年级几何全等证明题归纳八年级几何全等证明题归纳 1.如图，梯形 ABCD 中，ADBC，DCB=45，BDCD过点 C 作 CEAB 于 E，交对角线 BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连接 EG、AF 求证：CF=AB+AF 证明：在线段 CF 上截取 CH=BA，连接 DH， BDCD，BECE， EBF+EFB=90，DFC+DCF=90， EFB=DFC， EBF=DCF， DB=CD，BA=CH， ABDHCD， AD=DH，ADB=HDC， ADBC， ADB=DBC=45， HDC=45，HDB=BDCHDC=45， ADB=HDB， AD=HD，DF=DF， ADFHDF
2、， AF=HF， CF=CH+HF=AB+AF， CF=AB+AF 2.如图，ABCD 为正方形，E 为 BC 边上一点，且 AE=DE，AE 与对角线 BD 交 于点 F，连接 CF，交 ED 于点 G判断 CF 与 ED 的位置关系，并说明理由 解：垂直 理由：四边形 ABCD 为正方形， ABD=CBD，AB=BC， BF=BF， ABFCBF， BAF=BCF， 在 RTABE 和DCE 中，AE=DE，AB=DC， RTABEDCE， BAE=CDE， BCF=CDE，CDE+DEC=90， BCF+DEC=90， DECF 3.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，A90，AB
3、AD，DECD 交 AB 于 E，DF 平分CDE 交 BC 于 F，连接 EF证明：CFEF 解： 过 D 作 DGBC 于 G 由已知可得四边形 ABGD 为正方形， DEDC ADE+EDG=90=GDC+EDG， ADE=GDC 又A=DGC 且 AD=GD， ADEGDC， DE=DC 且 AE=GC 在EDF 和CDF 中EDF=CDF， DE=DC， DF 为公共边， EDF CDF， EF=CF 4.已知 ： 在ABC 中，A=900， AB=AC，D 是 AC 的中点，AEBD，AE 延长线交 BC 于 F，求证：ADB= FDC。 A E BFC D 证明： 过点 C 作
4、CGCA 交 AF 延长线于 G G+GAC=90 又AEBD BDA+GAC=90 综合，G=BDA 在BDA 与AGC 中， G=BDA BAD=ACG=90 BA=CA BDAAGC DA=GC D 是 AC 中点，DA=CD GC=CD 由1=45，ACG=90，故2=45=1 在GCF 与DCF 中， GC=CD 2=45=1 CF=CF GCFDCF G=FDC,又G=BDA ADB=FDC 5.如图， 梯形 ABCD 中， ADBC， CDBC， BC=CD， O 是 BD 的中点， E 是CD延长线上一点， 作OFOE交DA的延长线于F， OE交AD于H， OF 交 AB 于
5、G，FO 的延长线交 CD 于 K，求证：OE=OF 提示：提示： 由条件知BCD 为等腰 Rt，连接 OC，可证OCKODH(AAS)， 得 OK=OH，再证FOHEOK(AAS)，得 OE=OF A B C D E G F K O H 6.如图，在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点 M，过点 C 作 CNDM 交 AB 于 N， 设正方形对角线交点为 O， 试确定 OM 与 ON 之间的关系， 并说明理由 解：四边形 ABCD 是正方形， DC=BC，DCM=NBC=90， 又CNDM 交 AB 于 N， NCM+CMD=90， 而CMD+CDM=90， NCM=CDM， DCMCB
6、N， CM=BN， 再根据四边形 ABCD 是正方形可以得到 OC=OB，OCM=OBN=45， OCMOBN OM=ON，COM=BON，而COM+MOB=90， BON+MOB=90 MON=90 OM 与 ON 之间的关系是 OM=ON；OMON 7.如图，正方形 CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线 上（CGBC） ，M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 CE 于 N 探究探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明 证明：根据题意，知 ADBC EAD=AEN（内错角相等） ， DMA=NME（对顶角相等） ， 又M 是线段 AE 的中点， AM=M
7、E ADMENM（ASA） AD=NE,DM=MN （对应边相等） 连接线段 DF，线段 FN， 线段 CE 是正方形的对角线，DCF=NEF=45， 根据上题可知线段 AD=NE， 又四边形 CGEF 是正方形， 线段 FC 等于 FE DCFNEF（SAS） 线段 FD=FN FDN 是等腰三角形 线段 MD线段 MF 8.如图， ABC 是等边三角形， BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形， 以 D 为顶点作一个 60角NDM， 角的两边分别交 AB、 AC 边于 M、 N 两点， 连接 MN 试探究 BM、 MN、 CN 之间的数量关系， 并加以证明 证明：BM+CN=NM 延长
8、AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE， BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，ABC 是等边三角形， BCD=30， ABD=ACD=90， DB=DC，CE=BM， DCEBMD， MDN=NDE=60 DM=DE（上面已经全等） DN=ND（公共边） DMNDENBM+CN=NM 9.如图，已知点 D 为等腰直角ABC 内一点，CAD=CBD=15E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA，求证：AD+CD=DE； 证明：AC=BC，ACB=90， CAB=ABC=45 CAD=CBD=15， BAD=ABD=30 AD=BD 在 DE 上截取 DM=DC，连接 CM， AD=B
9、D，AC=BC，DC=DC， ACDBCD ACD=BCD=45 CAD=15， EDC=60 DM=DC， CMD 是等边三角形 CDA=CME=120 CE=CA， E=CAD CADCEM ME=AD DA+DC=ME+MD=DE 即 AD+CD=DE 10.如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点， 且 AF 平分DAE，求证：AE=EC+CD 证明：AF 平分DAE，D=90，FHAE， DAF=EAF，FH=FD， 在AHF 与ADF 中， AF 为公共边，DAF=EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距 离相等） ， AHFADF（HL）
10、AH=AD，HF=DF 又DF=FC=FH，FE 为公共边， FHEFCE HE=CE AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE， AE=EC+CD 11.已知梯形 ABCD 中， ABCD， BDAC 于 E， AD=BC， AC=AB， DFAB 于 F，AC、DF 相交于 DF 的中点 O 求证：AB+CD=2BE 证明：过 D 作 DMAC 交 BA 的延长线于 M 梯形 ABCS 中，AD=BC， BD=AC 又CDAM，DMAC， 四边形 CDMA 为平行四边形 DM=AC，CD=AM MDAC，又 ACBD，且 AC=BD， DMBD，DM=BD， DMB 为等腰直角三角形
11、 又DFBM， DF=BF BM=2DF=2BF AM+AB=2BF CD=AM， AB+CD=2BF AC=BD=AB， 在BEA 和BFD 中，BEABFD BE=BF AB+CD=2BF， AB+CD=2BE 12.已知 ： 如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， BC=DC， CF 平分BCD， DF AB，BF 的延长线交 DC 于点 E 求证：AD=DE 证明：（1）CF 平分BCD， BCF=DCF 在BFC 和DFC 中， BFCDFC BF=DF，FBD=FDB 连接 BD DFAB， ABD=FDB ABD=FBD ADBC， BDA=DBC BC=DC， DBC=BD
12、C BDA=BDC 又 BD 是公共边， BADBED AD=DE 13.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADDC，ABDC，AB=BC，AD 与 BC 延长线交于点 F，G 是 DC 延长线上一点，AGBC 于 E 求证：CF=CG； 证明：连接 AC， DCAB，AB=BC， 1=CAB，CAB=2， 1=2； ADC=AEC=90，AC=AC， ADCAEC， CD=CE； FDC=GEC=90，3=4， FDCGEC， CF=CG 14.如图， 已知 P 为AOB 的平分线 OP 上一点， PCOA 于 C， PA=PB， 求证 AO+BO=2CO 证明：过点 P 作 PQOB 于 Q
13、，则PQB=90 OP 平分AOB，且 PCOA，PQOB PC=PQ 在 RtPOC 与 RtPOQ 中， PC=PQ PO=PO RtPOCRtPOQ（HL） OC=OQ 2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ 在 RtPCA 与 RtPQB 中， PC=PQ PA=PB RtPCARtPQB（HL） CA=QB 又 2OC=OC+OB+BQ 2OC=OC+OB+CA=OA+OB 15.已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，DEAC 于点 F， 交 BC 于点 G， 交 AB 的延长线于点 E， 且 AE=AC 求证 ： BG=FG ； 证明: ABC=90，DEAC
14、 于点 F， ABC=AFE AC=AE，EAF=CAB， ABCAFE AB=AF 连接 AG， AG=AG，AB=AF， RtABGRtAFG BG=FG 16.如图， 在平行四边形ABCD中， 分别以AB、 AD为边向外作等边ABE、 ADF，连接 CE、CF，求证：CDFEBC；CDF=EAF； ECF 是等边 解：ABE、ADF 是等边三角形 FD=AD，BE=AB AD=BC，AB=DC FD=BC，BE=DC B=D，FDA=ABE CDF=EBC CDFEBC， AF=FD，AE=DC，EF=CF EAFCDF CDF=EAF， AFC=AFE+EFD+DFC，AFE+EFD=
15、60 AFC-DFC=60 AFE=DFC EFC=60 同理，FEC=60 CF=CE ECF 是等边三角形 17.已知正方形 ABCD 中，F 为对角线 BD 上一点，过 F 点作 EFBA 于 E，G 为 DF 中点，连接 EG，CG求证：EG=CG； 证明： 延长 CG 至 M，使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC， 在DCG 与FMG 中， FG=DG，MGF=CGD，MG=CG， DCGFMG MF=CD，FMG=DCG， MFCDAB， EFMF 在 RtMFE 与 RtCBE 中， MF=CB，EF=BE， MFECBE MEF=CEB MEC=MEF+FEC=CEB+CE
16、F=90， MEC 为直角三角形 MG=CG， EG= MC， EG=CG 18.如图，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC、ACB， 求证：AC=AE+CD 解：在 AC 上取 AF=AE，连接 OF， 则AEOAFO（SAS） ， AOE=AOF； AD、CE 分别平分BAC、ACB， ECA+DAC= （180-B）=60 则AOC=180-ECA-DAC=120； AOC=DOE=120， AOE=COD=AOF=60， 则COF=60， COD=COF， 又FCO=DCO，CO=CO， FOCDOC（ASA） ， DC=FC， AC=AF+FC， AC=AE+CD 19.已知：如图，ADBC，AE 平分BAD，AEBE；说明：AD+BC=AB 解：如图，在 AB 上截取 AF=AD， AE 平分BAD， DAE=FAE， AF=AD，AE=AE， DAEFAE， D=AFE，DEA=FEA
