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1、第二分册 材料力学,第五章 截面的几何性质,51 静矩与形心 52 惯性矩和惯性积 53 惯性矩的平行移轴公式 主轴和主惯性矩 54 组合截面惯性轴的计算,目 录,截面几何性质,5-1 静矩与形心,一、静矩 静矩是面积与它到轴的距离之积。,截面几何性质,o,二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。),等于形心坐标,o,截面几何性质,例1 试确定下图的形心。,解 ： 组合图形，用正负面积法解之。,1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a),截面几何性质,2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b),图(b),C1（0,0） C2（5,5）,截面几何性质,5-2 惯性矩和惯性积,一、惯性矩： 惯
2、性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。,二、极惯性矩： 极惯性矩是面积对极点的二次矩。,0,截面几何性质,三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。,如果 x 或 y 是图形的对称轴， 则Ixy =0,o,截面几何性质,例2 求矩形截面对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy 。,解 取一平行于x轴的窄长条，其面积为dAbdy，则由惯性矩的定义，得 同理可得 因为x、y轴均为对称轴，故Ixy0。,截面几何性质,例3 求图示直径为d的圆对过圆心的任意轴(直径轴)的惯性矩Ix，Iy，及对圆心的极惯性矩IP。,解 首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为 处作宽度为 的薄圆环，其面积为
3、 则圆截面对圆心的极惯性矩为 由于圆形对任意直径轴都是对称的， 故IxIy。可得,IxIy,截面几何性质,3-3 惯性矩的平行移轴公式 主轴和主惯性矩,一、平行移轴公式：,以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图,o,截面几何性质,注意: C点必须为形心,截面几何性质,例4 求图示圆对其切线AB的惯性矩。,解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。,B,建立形心坐标如图，求图形对形心轴的惯性矩。,A,d,circle,A,截面几何性质,例5 求图示截面图形对过形心C的x、y轴的惯性矩。 解 为求Ix、Iy将组合图形分割为两个矩形I和。组合截面的惯性矩应为
4、各组成部分的惯性矩之和。,截面几何性质,同理 应用平行移轴公式，有 代入上式得,截面几何性质,二、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有,与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。,截面几何性质,三、形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩,形心主惯性矩：,截面几何性质,四、求截面形心主惯性矩的方法, 建立坐标系, 计算面积和面积矩, 求形心位置, 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC, 求形心主轴方向 0, 求形心主惯性矩,截面几何性质,例6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。 (b=1.5d),解： 建立坐标系如图。, 求形心C的位置。, 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy,C,d,b,2d,C,截面几何性质,d,b,2d,截面几何性质,第五章结束,截面几何性质,
