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1、.,第三章哥西定理 哥西积分公式,.,1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法,3.1.1 复变积分的定义及其计算方法,第一节 复变积分的概念及其性质,.,1. 有向曲线,.,.,2. 积分的定义,定义3.1,.,.,.,3. 积分存在的条件及其计算法,定理,.,证明,.,.,由曲线积分的计算法得,.,3.1.2 积分性质,由积分定义得：,.,例1,解,又解,.,例2,解,.,=,=,-,=,-,=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,.,例3,解,.,解:,例4,.,3.2
2、.1 Cauchy-Goursat基本定理,第二节 哥西积分定理及其推广,.,由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关。,先将条件加强些，作初步的探讨,.,.,Cauchy 定理,.,Cauchy-Goursat基本定理：,也称Cauchy定理,.,(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。,推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意 两点z0, z1B, 积分c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。,.,1. 原函数与不定积分的概念 2. 积分计算公式,3.1.2 原函数与不定积分,.,1.
3、 原函数与不定积分的概念,由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且,.,上面定理表明 是f (z)的一个 原函数。,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,.,2. 积分计算公式,定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)
4、是f (z) 的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,.,例1 计算下列积分：,解1),.,解2),.,例3 计算下列积分：,.,小结 求积分的方法,.,定理3.3(复合闭路定理)：,3.2.3 基本定理推广复合闭路定理,.,证明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,.,说明,.,此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. 闭路变形原理,.,例,解,.,练习,解,.,利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即
5、复合闭路定理,导出一个用边界值表示解 析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数 的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法.,内 容 简 介,第三节 Cauchy积分公式,.,分析,3.3.1.哥西积分公式,.,猜想积分,.,定理3.4.(Cauchy 积分公式),证明,.,.,.,一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值.,.,例1,解,.,例2,解,.,例3,解,.,内 容 简 介,本节研究解析函数的高阶导数，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。,3.3.2 解析函数的无穷次可导性,.,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,.,定理3.5.,证明 用数学归纳法和导数定义。,.,.,.,依次类推，用数学归纳法可得,.,一个解析函数的导数仍为解析函数。,.,例1,解,.,.,
