第六章-弹性波波动方程及其解ppt课件

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1、.,第六章 弹性波波动方程及其解,.,6.1 线性弹性动力学的基本方程,基本方程 运动微分方程 几何方程,.,本构方程 分析 已知方程数15个； 未知数15个；,.,边界条件和初始条件,边界条件 给定了弹性体在其边界面上所满足的条件。 边界条件分类 位移边界条件：当S=SU时 应力边界条件：当S=St时 混合边界条件：当S=SU+St时 在St上 在SU上,.,初始条件,初始条件 给定了弹性体在时刻t=0时的位移和速度，称为初始条件。 在V+S的弹性体上有： 定解条件 边界条件+初始条件,.,弹性波动力学的求解路线,弹性波动力学问题的表述： 弹性体的形状、大小以及其物理性质(即密度和弹性系数)

2、； 弹性体所受外来作用的体力及表面力； 弹性体所受的约束性； 弹性体各点的初始位移及初始速度，求: 弹性体内的位移场、应变场及应力场。,.,按应力求解,.,按位移求解,.,2 三维三分量波动方程,各向同性介质三维三分量波动方程,.,纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中 的弹性波最基本方程。,指标表示的纳维方程,向量表示的纳维方程,线性弹性体的整个理论就是在定解条件下解纳维方程。,.,三维三分量的含义 位移场ui是空间坐标x1、x2、x3的函数，因此，是三维立体空间的； 位移场ui有u1 、 u2 、 u3三个分量，因此，是三分量的； 体力为零时的纳维方程 通常在研究地震波的传播时

3、，认为地壳所受的体力为零，即：f=0。此时，纳维方程可表示为：,.,3. 弹性流体介质中的波动方程,弹性流体介质中的基本方程 几何方程 运动微分方程(不计体力) 本构方程？ 弹性流体中的本构方程 黏滞力：在实际流体中两层流体间的相互滑动时，流体间有相互作用的阻力，称其为黏滞力或内摩擦力。 理想流体介质：可以将黏滞力忽略的流体称为理想流体。在理想流体中只存在胀缩力，而不存在剪切力。,.,右图为理想弹性体内的某个体元，其只受外法线方向相反的正应力，而无剪应力。即： 上式中P为压力，当体元为单位体元时，P可视为压强。,.,弹性流体中的波动方程 将上式代入运动微分方程，得 上式两边取散度 将压力与应变

4、关系代入上式,.,6.2 无旋波和无散波,斯托克斯-亥姆霍兹矢量定理 任何一个足够平滑的矢量场都可以分解成无旋的部分和无散的部分，这称为斯托克斯-亥姆霍兹矢量定理。 结论 无旋位移场的散度对应弹性休的胀缩应变场；,.,无散位移场的旋度对应弹性体的切应变情形； 在非稳定条件下，这两种场分别以波的形式运动着，故分别叫做无旋波和无散波，也称之为胀缩波与等体积波。 无旋位移场波动方程,试证对于任意一阶张量都成立！,.,结论：在均匀各向同性弹性体内，膨胀扰动以速度VP向 外传播。这种膨胀波称为纵波或P波。其传播速度为VP 。,如果只研究纵波的传播问题，可以不考虑振源的影响， 此时设外力为”0”，则方程可

5、简化为：,.,无散位移场的波动方程,结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向 外传播。这种切变波称为横波或S波。其传播速度为VS 。,如果只研究横波的传播问题，可以不考虑振源的影响， 此时设外力为”0”，则方程可简化为：,.,体应变表示的纵波方程,此时只有胀缩波，波有旋转波！为什么？,.,如果只研究纵波的传播问题，可以不考虑振源的影响， 此时设外力为”0”，则方程可简化为：,上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。,转动矢量表示的横波方程,.,弹性体发生剪切形变时，由于转动很小，由矢量分析可知，定义转动矢量：,如果只研究横波的传播问题，可以不考虑振源的影响， 此时设外力为”0”，则

6、方程可简化为：,.,6.3 标量势与矢量势,拉梅势(Lame) 根据斯托克斯亥姆霍兹矢量分解定理，位移矢量场可以分解成无旋场与无散场两个部分。 如果位移矢量表示的纳维方程二次可微，则存在一个标量势函数f和一个矢量势函数y，此时位移场可表示为： 同理，对于体力也存在一个标量势函数F和一个矢量势函数A，此时体力可表示为：,表示无 旋场？,表示无 散场？,.,以势函数表示的波动方程,将势函数代入上式，则：,因为在空间区域V及任意时间区域中有上式成立，则有：,.,如果对标量势表示的波动方程两边取梯度 如果对矢量势表示的波动方程两边取旋度 如果F=A=0，则,因此，用标量势函数和矢量势函数 表示纵波和横

7、波的传播是合理的！,.,弹性波波动方程的一般表达式 由以上的讨论可知，位移矢量u、位移势函数f和y、体积应变q及转动角矢量W都具有相同的方程形式，为了方便起见，可以用统一的方程表示。 当有体力时，可表示为达朗贝尔方程 当只考虑波的传播，不考虑体力时 此时的纵波波动方程为,.,横波波动方程,.,6.4 三维三分量波动方程的退化处理,以上讲到的波动方程都是三维三分量的，与当前地震勘探的实际情况有此差别。由于条件的限制，目前在进行地震勘探时所有的检波器都放在地面上，而且也主要是接收垂直地面的垂向分量的地震波。 因此，在处理很多问题时我们将三维三分量波动方程进行退化处理。 所谓退化处理就是人为地降低波

8、动方程的维数或分量。 二维单垂向分量波动方程(2D1VC) 二维单垂向分量是目前常规二维地震勘探数据采集的观测方式，即在地表直测线上采集地震数据的观测方式。,.,上式就是所要求的二维单垂向分量波动方程。,i必须等于3,.,结论 接收点记录的地震波场中，即有纵波成分又含有横波成分。所得到的记录是纵波与SV型横波的复合型地震波场。 但由于地震波的激发方式和接收方式等因素的选择设计，会使此复合型波场中的纵波成份占主导地位。因此，通常用如下式所示的声波方程代替,.,当接收的是ox1轴分量时的情况又怎样？,i必须等于1,.,当接收的是ox2轴分量时的情况又怎样？ 此时接收的波场中只有横波分量，没有纵波分

9、量！,i必须等于2,.,三维单垂向分量波动方程(3D1VC) 三维单垂向分量是目前常规三维地震勘探数据采集的观测方式； 即在地表平面上采集地震数据的观测方式； 取地表平面为ox1x2x3平面，所接收的分量为u3，平行ox3轴垂直向下。 此时，有：,.,上式即为三维单垂向波动方程。分析上式可知，接收点的响应的地震波场中即有纵波成份，同时也包含横波成份。 一维三分量波动方程 一维三分量是目前VSP测井中常规数据采集方式； 即在一维线上激发与接收，所接收的分量u=(u1,u2,u3),.,平面波仅沿ox3轴传播,.,平面波沿ox2轴传播 平面波沿ox1轴传播,.,沿过原点任意射线传播时 当平面波的传

10、播方向与ox1x2x3坐标系的任意一个坐标轴都不重合时，此时的平面波方程比较复杂。 首先，以波的传播方向为ox3轴建立一个新坐标系； 其次，就新坐标系内将平面波方程表达出来； 最后，通过坐标旋转关系求出在旧坐标系内的表达式。,.,6.5 波动方程的一般解,平面波假设 平面波只是一种理想化模型。波前面离开波源足够远时，可以把波前面近似地看作平面，叫做平面波。 平面波分类 根据波函数对时间的依赖关系：脉冲型、简谐型； 根据振幅随场点坐标的变化：均匀平面波、非均均平面波； 一维波动方程的解 由于平面被的波前面是一系列互相平行的平面，因此，同一波前面上各点振动情况完全相同，所以对于沿某一方向传播的平面

11、波，我们可以选择一个坐标系，使得波就象在其中某一个坐标轴方向上传播一样。,.,行波法解,令波传播方向沿ox1轴，则ui=ui(x1,t)； 则此时的波动方程为： 由达朗贝尔方程，得一维波动方法为：,.,上式即为一维波动方程的通解，f1,f2为任意函数。,.,上式意义 f1(x-vt)表示由波源出发，以速度v，沿ox轴方向传播的行波；? f2(x+vt)表示由无穷远处出发，以速度v，沿ox轴负方向传播的行波；? 坐标轴上某点处的波是由上述两种行波干涉波叠加的结果； 上述行波法只考虑了波的传播，没有考虑波的初始扰动和边界情况等因素；因此，所得解没有太多实用价值。,.,地震波传播的边界条件和初始条件

12、 边界条件 给定了弹性体在其边界面上所满足的条件，即称之为边界条件。 位移边界条件：在弹性体的所有边界面上都给定了位移Su。此类问题称为第一类边值问题。 应力边界条件：在弹性体的所有边界面上都给定了表面力St。此类问题称为第二类边值问题。 混合边界条件：弹性体的边界面可以分成两部分，一部分给定了位移Su，另一部分给定了表面力St。此类问题称为第三类边值问题。,.,初始条件 给定了弹性体在时刻t时的位移和速度，称为初始条件。 如： 定解条件 将所给的弹性体的边界条件和初始条件统称为定解条件。 由波动方程的通解和定解条件，就可以确定特定地震波的传播。,.,例题,设理想弹性体构成的弹性半空间，如图所

13、示，如果弹性体材料的拉梅系数和密度已知，所受体力f=ge3(g为常数)，其边界面上x3=0为自由界面， x3=h时u3=0 。试求弹性体在均匀体力作用下的位移和应力分布。 解 因为弹性体处于静力平衡状态， 而且，其在ox1、ox2方向上不 受力，仅在ox3方向受力。因此， 有：,.,由于弹性体处于静力平衡状态，所以其速度和加速度为0。,由于x3=0处的界面为自由界面，所以其法向受力为0。,.,从而由几何方程和本构方程即可求出对应的应变张量和应力张量！,.,例2. 设理想弹性体构成的弹性半空间，如图所示，如果弹性体材料的拉梅系数和密度已知。在t=0时，处于静止状态；当t0时，受均匀压力P(t)，

14、不计体力。试求：t0时该弹性体的位移场和应力场。,.,定解条件下一维平面波的解,.,沿任意方向传播的平面波 一般情况下平面波不一定沿坐标轴方向传播，这时波函是坐标变量xi的函数。在直角坐标系下其方程为：,.,设平面波在ox1方向上传播，n是波前面的法向量，显然n与ox1轴的正方向一致。 则平面波的通解为：,X1,波阵面上任意一点P都满足上式，则P点在x1轴上的坐标为:,.,平面波的等相位面为： 平面波的传播条件 在均匀无限弹性空间中，平面波的位移为ui，波传播的方向为n，由于只有从振源出发的平面波才有实际意义，则位移可写为：,.,将以上四式代入纳维方程，并令体力为零，于是得： 选波沿ox3轴传

15、播， 则n1=n2=0, n3=1 上式是关于振幅a1,a2,a3的三个齐方程，它有不为零解的条件是它们的行列式为“0”。,.,这一结果表明，平面波在均匀无限弹性体内，只能以速度vP或速度vS传播。 波的质点位移与波的传播方向间的关系 纵波情况 位移标量场的标量势f满足波动方程 当时研究沿n之正方向传播的波时，有：,.,物理意义：在无旋波场中，质点位移方向与波的传播方向一致，通常称之为纵波。 横波情况 位移矢量场的矢量势y满足方程 当研究沿n之正方向传播的波时，有：,.,物理意义：无散波场中质点位移方向与波的传播方向垂直，通常称为横波。 波前面的应力分布 当弹性体在介质中传播时，介质由于变形产生应力，由广义虎克定律可知：,.,.,平面波的分离变量法解,要使上式对于任意的xi和t，都成立，则 每一个求和项必为一常数，令其为-ki2。,.,解上述4个方程，得：,.,平面波的解可改写为,视速度定理,.,非均匀平面波 如果波的等位相面各点振动幅值不等，即等位相面和等振幅面并不平行，则称之为非均匀平面波。 对于一般平面波来说，其波函数可取为： 如果平面波是非均匀平面波时，则波数为复数,此时，kj为实数,由上式非均匀平面简谐波的波函数可知，