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1、 初中数学十字相乘法因式分解初中数学十字相乘法因式分解 要点： 一、一、型的因式分解型的因式分解 2 ()xpq xpq 特点是：（1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数 的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到： pqxqpx)( 2 )()( 22 pqqxpxxpqqxpxx )()()(qxpxpxqpxx 因此：)()( 2 qxpxpqxqpx 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。 二、一般二次三项式二、一般二次三项式的分解因式的分解因式 2 axbxc 大家知道，大家知道，。 2 112212122 112 ()()(
2、)a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就可得到：反过来，就可得到： 2 12122 1121122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数我们发现，二次项系数分解成分解成，常数项，常数项 分解成分解成，把，把写成写成a 12 a ac 1 2 c c 1212 ,a a c c ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么，那么就可以分就可以分 11 22 ac ac 122 1 a ca c 2 axbxc 解成解成. 1122 ()()a xca xc 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二
3、次三项式分解因式的方法，叫做十字十字 相乘法。相乘法。 【典型例题典型例题】例 1 把下列各式分解因式。（1） （2）23 2 xx67 2 xx 分析：分析：（1）的二次项的系数是 1，常数项，一次项系数，23 2 xx212213 这是一个型式子。pqxqpx)( 2 （2）的二次项系数是 1，常数项，一次项系数67 2 xx)6() 1(67) 1( ，这也是一个型式子，因此可用公式)6(pqxqpx)( 2 pqxqpx)( 2 x( 分解以上两式。)(qxp 解：解：（1）因为，并且，所以212213)2)(1(23 2 xxxx （2）因为，并且，所以)6() 1(6)6() 1(
4、7)6)(1(67 2 xxxx 例 2 把下列各式因式分解。 （1） （2）2 2 xx152 2 xx 分析：分析：（1）2 的二次项系数是 1，常数项，一次项系数 xx22) 1(2 ，这是一个型式子。2) 1(1pqxqpx)( 2 （2）的二次项系数是 1，常数项，一次项系数152 2 xx3)5(15)5(2 ，这也是一个型式子。3pqxqpx)( 2 以上两题可用式子分解。)()( 2 qxpxpqxqpx 解：解：（1）因为，并且，所以2) 1(22) 1(1) 1)(2(2 2 xxxx （2）因为，并且，所以3)5(153)5(2)3)(5(152 2 xxxx 注意：注意
5、：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相 同。 （2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次 项系数的符号相同。 例 3 把下列各式因式分解。 （1） （2） （3）372 2 xx576 2 xx 22 865yxyx 解：解：（1） ) 12)(3(372 2 xxxx 12 31 7) 1(1)3(2 （2） )53)(12(576 2 xxxx 53 12 713)5(2 （3） )45)(2(865 22 yxyxyxyx y y 45 21 yyy6)2(5)4(1 例 4 将分解因式。40)(3)( 2 yxyx 分析：
6、分析：可将看成是一个字母，即，于是上式可化为二次项系yx ayx403 2 aa 数是 1，常数，一次项系数，所以可用5)8(405)8(3)( 2 qpxx 式子分解。)(qxpxpq 解：解：因为，并且，所以5)8(405)8(3 40)(3)( 2 yxyx)5)(8(5)(8)(yxyxyxyx 例 5 把分解因式。 2222 65xyxyx 分析：分析：多项式各项有公因式，第一步先提出各项公因式，得到： 2 x 2 x ，经分析它符合型式)65(65 222222 yyxxyxyx65 2 yypqyqpy)( 2 子，于是可继续分解。第二步，按型二次三项式分解，得到：pqyqpy)
7、( 2 ) 1)(6()65( 222 yyxyyx 解：解：) 1)(6()65(65 2222222 yyxyyxxyxyx 例 6 将分解因式。xyyx1681 55 解：解：xyyx1681 55 )49)(49()1681( 222244 yxyxxyyxxy )23)(23)(49( 22 xyxyyxxy 注意：注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提 出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式 法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分 解为止。 【模拟试题模拟试题】 一. 填空
8、题： 1. （ ）（ ） 2. （ 283 2 xx 22 352yxyx)7(yx ） 3. （ ） 4. （ ）（ 22 144320yxyx)74(yx 51918 2 xx ）12 x 5. （ ）（ ） 6. （ ）（ 61135 22 mnnm 2 35116aa ） 7. （）（ ） 65 2 xkx23 xk 8. ，则 )25)(74(1443 2 yxyxyxymm 9. ，则 ， )5)(74(4320 2 nxyxmxyxmn 10. 分解因式 。16)3(8)3( 2242 xxxx 二. 选择题： 1. 分解因式为（ ）1610 2 xx A. B. C. D. )
9、8)(2(xx)8)(2(xx)8)(2(xx)8)(2(xx 2. 分解为（ ） 22 3013yxyx A. B. C. D. )10)(3(yxyx)2)(15(yxyx)3)(10(yxyx)2)(15(yxyx 3. 把分解因式为（ ）35296 2 xx A. B. C. D. )53)(72(xx)52)(73(xx)52)(73(xx)53)(72(xx 4. 把分解因式为（ ） 222 44nmnmx A. B. )2)(2(nmxnmx)2)(2(nmxnmx C. D. )2)(2(nmxnmx)2)(2(nmxnmx 5. 在下列二次三项式中，不是型式子的是（ ）pqx
10、qpx)( 2 A. B. C. D. 2012 2 xx1009 2 xx1413 2 xx529 2 xx 三. 解答题： 1. 将下列各式因式分解。 （1） （2） （3）1）65 2 xx30 2 xx14430 2 xx （3） （4） （5） 2 1118xx 2 2526aa 22 32xxyy 2. 将下列各式因式分解。 （1） （2） （3）1718 24 mm 4224 2073yyxx 2 3145bb （4） （5） （6） 2 23xx 2 257xx 2 321aa 3. 因式分解。 （1） （2）24)7(10)7( 222 xxxx 2222224 )()(2z
11、yzyxx 4. 已知，求的值。0284715 22 yxyx y x 5. 已知（，），求的值06 22 baba0a0b b a a b 6. 已知，求的值。02629 22 bababa32 试题答案试题答案 一. 1. ； 2. 3. 4. 7x4xyx5yx25 59 x 5. ； 6. ； 7. ；635mn27mna72a5332 x 8. 9. ； 10. 2 20 x 2 14yy2 2222 )23()2() 1(xxxx 二.1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 三.1. 解： （1）（2）) 1)(6(65 2 xxxx)5)(6(30 2 xxxx （3）
12、)6)(24(14430 2 xxxx 2. 解：（1）) 1)(17()1718(1718 222424 mmmmmm ) 1)(1)(17( 2 mmm （2）)53)(2)(2()53)(4(2073 2222224224 yxyxyxyxyxyyxx （3）)2)(2)(2()2)(4()82(82 2222435 xxxxxxxxxxxxx 3. 解：（1）)73)(52()356(356 222424 nnknnkkknkn aaaaaaaaa （2）)54)(12( 8 1 )5148( 88 5 4 7 22 xxxxxx 4. 解： （1）)27)(127(24)7(10)7
13、( 22222 xxxxxxxx )27)(4)(3( 2 xxxx （2） 222222222222224 )()()()(2zyxzyxzyzyxx 5. 解： 0284715 22 yxyx0)45)(73(yxyx 或 当时，（1） yx 3 7 yx 5 4 yx 3 7 3 7 3 7 y y y x （2）当时， 5 4 xy 5 4 5 4 y y y x 6. 解： 06 22 baba0)2)(3(bababa3ba2 当时，ba3 3 1 33 3 13 3 b b b b b a a b 当时，ba2 2 1 22 2 12 2 b b b b b a a b 7. 解： 02629 22 baba0) 169() 12( 22 bbaa 0) 13() 1( 22 ba1a 3 1 b 312) 3 1 (31232 ba
