《1409编号概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1409编号概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 习题习题 4.1 1 如果XX P n ，且YX P n 试证：PX = Y = 1 证：因 | X Y | = | (Xn X ) + (Xn Y )| | Xn X | + | Xn Y |，对任意的 0，有 + 2 | 2 |0 YXPXXPYXP nn ， 又因XX P n ，且YX P n ，有0 2 |lim= + XXP n n ，0 2 |lim= + YXP n n ， 则 P| X Y | = 0，取 k 1 =，有0 1 |= k YXP，即1 1 |= k YXP， 故1 1 |lim 1 | 1 = =
2、 0，有 + + 2 | 2 | )()(|0 YYPXXPYXYXP nnnn ， 又因XX P n ，YY P n ，有0 2 |lim= + XXP n n ，0 2 |lim= + YYP n n ， 故0| )()(|lim=+ + YXYXP nn n ，即YXYX P nn +； （2）因 | XnYn XY | = | (Xn X )Yn + X (Yn Y ) | | Xn X | | Yn | + | X | | Yn Y |，对任意的 0，有 + 2 | 2 |0 YYXPYXXPXYYXP nnnnn ， 对任意的 h 0，存在 M1 0，使得 4 | 1 h MXP
3、0，使得 8 | 2 h MYP 0，当 n N1时， 8 1| h YYP n ， 因| Yn | = | (Yn Y ) + Y | | Yn Y | + | Y |，有 4 |1|1| 22 h MYYYPMYP nn 0，当 n N2时， 4) 1(2 | 2 h M XXP n maxN1, N2 时，有 2 244 1| ) 1(2 | 2 | 2 2 hhh MYP M XXPYXXP nnnn =+ 0，当 n N3时， 42 | 1 h M YYP n ，有 244 | 2 | 2 | 1 1 hhh MXP M YYPXYYP nn =+ 0，当 n maxN1, N2,
4、N3 时，有 h hh YYXPYXXPXYYXP nnnnn =+ 0，存在 M 0，使得 4 | h MXP 0，当 n N1时， 4 1| h XXP n ， 因| Xn | = | (Xn X ) + X | | Xn X | + | X |， 则 244 |1|1| hhh MXPXXPMXP nn =+ 0，存在 0，当 | x y | 时，有 | g (x) g ( y) | 0，当 n N2时， 4 | h XXP n 0，当 n maxN1, N2 时，有 |1| )()(|0MXMXXXPXgXgP nnn +UU h hhh MXPMXPXXP nn =+ 0，有0 |
5、|lim= + c aXP n n ， 故0|lim= + cacXP n n ，即cacX P n 5 试证：XX P n 的充要条件为：n + 时，有0 |1 | + XX XX E n n 3 证：以连续随机变量为例进行证明，设 Xn X 的密度函数为 p( y)， 必要性：设XX P n ，对任意的 0，都有0|lim= + XXP n n ， 对0 1 2 + ，存在 N 0，当 n N 时， + 1 | 2 XXP n ， 则 + + + + = + = + | )( |1 | )( |1 | )( |1 | |1 | yy n n dyyp y y dyyp y y dyyp y
6、 y XX XX E = + + + + + =+ + 11 | 1 )()( 1 2 | XXPXXPdyypdyyp nn yy ， 故 n + 时，有0 |1 | + XX XX E n n ； 充分性：设 n + 时，有0 |1 | + XX XX E n n ， 因 + + + + = | )( |1 |1 )( 1 1 )(| yyy n dyyp y y dyypdyypXXP + + = + + + |1 |1 )( |1 |1 XX XX Edyyp y y n n ， 故0|lim= + XXP n n ，即XX P n 6 设 D (x)为退化分布： x 时，有 x +
7、n 0，D (x + n) = 1，即1)(lim=+ + nxD n ， 则 D (x + n) 的极限函数是常量函数 f (x) = 1，有 f () = 1 0， 故 D (x + n) 的极限函数不是分布函数； （2）若 x 0，有0 1 + n x，1 1 = + n xD，即1 1 lim= + + n xD n ， 若 x 时，有0 1 + n x，0 1 = + n xD，即0 1 lim= + + n xD n ， 则 = + + . 0, 1 ; 0, 0 1 lim x x n xD n 这是在 0 点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质， 4 故 + n xD
8、1 的极限函数是分布函数； （3）若 x 0，有0 1 0，当 x n 1 时，有0 1 n x，1 1 = n xD，即1 1 lim= + n xD n ， 则 = + . 0, 1 ; 0, 0 1 lim x x n xD n 在 x = 0 处不是右连续， 故 n xD 1 的极限函数不是分布函数 7 设分布函数列 Fn (x) 弱收敛于连续的分布函数 F (x)，试证：Fn (x) 在 (, +) 上一致收敛于分布 函数 F (x) 证：因 F (x) 为连续的分布函数，有 F () = 0，F (+) = 1，对任意的 0，取正整数 2 k， 则存在分点 x1 x2 xk 1，使
9、得1, 2, 1,)(=ki k i xF i L，并取 x0 = ，xk = +， 可得kki k xFxF ii , 1, 2, 1, 2 1 )()( 1 = 0，当 n N 时，1, 2, 1, 2 | )()(|=kixFxF iin L ， 且显然有 2 0| )()(| 00 =xFxFn， 2 0| )()(| = kkn xFxF， 对任意实数 x，必存在 j，1 j k，有 xj 1 x xj ， 因 2 )()()()( 2 )( 11 + 222 )()()()( 1 xFxFxFxF jn ，且 =+ 0 和任意实数 x，总存在 N 0，当 n N 时，都有 | Fn
10、 (x) F (x) | 0，存在 h 0，当 | y y0 | h 时， 4 | )()(| 0 + yFyF baXbaX ， 又设 y 是满足 | y y0 | N1时， 4 | )()(| xFxF XXn ，即 4 | )()(| N1且 | y y0 | h 时， 2 | )()(| )()(| )()(| 00 MFX， 4 )( = + MFMF XX n n ， 4 )()(lim N2时， 4 1)( MF n X ， 4 )( MF n X ， 可得 2 )(1)(| MFMFMXP nn XXn ， 因数列 an a，bn b，存在 N3，当 n N3时， M h aa
11、n 4 |， 4 | h bbn maxN2, N3时， += + 2 | )()( | 2 | )()( | h bbXaaP h baXbXaP nnnnnnn 2 | 24 | 42 | = + +MXP hh X M h P h bbXaaP nnnnn ， 则 + += + 2 | )()( | 2 )( 000 h baXbXa h ybaXPybXaPyF nnnnnnnnbXa nnn U 222 | )()( | 2 00 + + + + h yF h baXbXaP h ybaXP baXnnnnn n ， 且 + += + 2 | )()( | 22 000 h baXb
12、XaybXaP h ybaXP h yF nnnnnnnnbaXn U 2 )( 2 | )()( | 00 + + yF h baXbXaPybXaP nnn bXannnnnnn ， 即 22 )( 22 000 + + N1且 | y y0 | h 时， 2 )()( 2 )( 00 + + yFyFyF baXbaXbaX n ， 在区间 +hy h y 00 , 2 取 FaX + b( y) 的任一连续点 y1，满足 | y1 y0 | maxN1, N2, N3时， + + + )( 2 )( 22 )( 0100 yFyF h yFyF baXbaXbaXbXa nnnnn ，
13、 在区间 2 , 00 h yhy取 FaX + b( y) 的任一连续点 y2，满足 | y2 y0 | maxN1, N2, N3时， 6 + )( 2 )( 22 )( 0200 yFyF h yFyF baXbaXbaXbXa nnnnn ， 即对于 FaX + b( y) 的任一连续点 y0，当 n maxN1, N2, N3时， 0，存在 h 0，当 | y y0 | h 时， 4 | )()(| 0 + yFyF aXaX ， 又设 y 是满足 | y y0 | N1时， 4 | )()(| xFxF XXn ，即 4 | )()(| N1且 | y y0 | h 时， 2 | )()(| )()(| )()(| 00 + h aYP n n ，存在 N2，当 n N2时， 22 | h aYP n ， 则 += + 2 | 2 )( 000 h aY h yaXPyYXPyF nnnnYX nn U 222 | 2 00 + + + + h yF h aYP h yaXP aXnn n ， 且 + += + 2 | 22 000 h aYyYXP h yaXP h yF nnnnaXn U 2 )( 2 | 00 + + yF h aYPyYXP nn
