1438编号概率论与数理统计公式整理(完整精华版)

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1、概率论与数理统计 公式（全） 1 第 1 章 随机事件及其概率第 1 章 随机事件及其概率 （1）排列 组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m （2）加法 和 乘 法 原 理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成， 第一种方法可由 m 种方法完成， 第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn乘法原理（两个步骤分别不能

2、完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 （3）一些 常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发

3、生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点 （基本事件） 组成的集合。 通常用大写字母A， B，C，表示事件，它们是的子集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件 ； 同理， 必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 （6）事件 的 关 系 与 运算 关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ： BA 如果同时有， 则称事件A与事

4、件B等价， 或称A等于B：A=B。BA AB A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可 表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 概率论与数理统计 公式（全） 1 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生 的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)

5、(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： 11i i i iAA ， BABABABA （7）概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11 )( i i i iAPAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 （8）古典 概型 1 ， n 21, 2 。 n PPP n 1 )()()( 21 设任一事件A，它是由组成的，则有 m 21, P(A)= =)()()( 21m )()()( 21m PPP n m

6、基本事件总数 所包含的基本事件数A （9）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A， 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 )( )( )( L AL AP （10）加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时，P()=1- P(B)B （12）条件 概率 定义 设 A

7、、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下，事 )( )( AP ABP 件 B 发生的条件概率，记为。)/(ABP )( )( AP ABP 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 概率论与数理统计 公式（全） 1 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B （13）乘法 公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP )nA)|()|()(213121AAAPAAPAP 21|(AAAPn )1nA 。 （14）独立 性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A

8、、B满足 )()()(BPAPABP ，则称事件A、B是相互独立 的。 若事件A、B相互独立，且 0)(AP ，则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP ABP ABP 若事件A、B相互独立， 则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对

9、于 n 个事件类似。 （15）全概 公式 设事件 nBBB,21 满足 1 nBBB,21 两两互不相容， ), 2 , 1(0)(niBPi ， 2 n i iBA 1 ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 。 （16）贝叶 斯公式 设事件1B，2B， nB及A满足 1 1B，2B， nB两两互不相容， )(BiP 0， i 1，2，n， 2 n i iBA 1 ， 0)(AP ， 则 ，i=1，2，n。 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/( 此公式即为贝叶斯公式。 ，（ 1i ，2，

10、n） ， 通常叫先验概率。，（ 1i ，2，)( i BP)/(ABP i n） ， 通常称为后验概率。 贝叶斯公式反映了 “因果” 的概率规律， 并作出了 “由 果朔因”的推断。 （17）伯努 利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 概率论与数理统计 公式（全） 1 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用 p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1 ，用 )(kPn 表 示n重伯努利试验中A出现 )0(n

11、kk 次的概率， knk k n nqpkP C )( ， nk, 2 , 1 , 0 。 第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布 （1）离散 型随机变 量的分布 律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出： , , | )(21 21 k k kppp xxx xXP X 。 显然分布律应满足下列条件： （1） 0kp ， , 2 , 1k ， （2） 1 1 k kp 。 （2）连续 型随机变 量的分布 密度

12、设 )(xF 是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 )(xf ，对任意实数x，有 x dxxfxF)()( ， 则称X为连续型随机变量。 )(xf 称为X的概率密度函数或密度函数， 简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1 0)(xf 。 2 1)(dxxf 。 （3）离散 与连续型 随机变量 的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与 kkpxXP)( 在离dxxf)( 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 概率论与数理统计 公式（全） 1 （4）分布 函数 设为随机变量，是任意实数，则函数Xx )()(xXPxF 称为随机变量 X

13、 的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到 X 落入区间的概率。分布)()()(aFbFbXaP,(ba 函数表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。)(xF 分布函数具有如下性质： 1 ；, 1)(0 xFx 2 是单调不减的函数，即时，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF 3 ， ；0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x 4 ，即是右连续的；)()0(xFxF)(xF 5 。)0()()(xFxFxXP 对于离散型随机变量，； xx k k pxF)( 对于连续型随机变量， 。 x dxxfxF)()( 0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q（5）八

14、大 分布 二项分布 在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生nApA 的次数是随机变量，设为，则可能取值为。XXn, 2 , 1 , 0 ， 其中 knkk n nqpCkPkXP )()( ，nkppq, 2 , 1 , 0, 1 0 , 1 则 称 随 机 变 量服 从 参 数 为，的 二 项 分 布 。 记 为Xnp 。),(pnBX 当时， 这就是 （0-1） 分布，1n kkq pkXP 1 )(1 . 0k 所以（0-1）分布是二项分布的特例。 概率论与数理统计 公式（全） 1 泊松分布设随机变量的分布律为X ， e k kXP k ! )(02 , 1 , 0k 则称随机变

15、量服从参数为的泊松分布，记为或X)(X 者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。 超几何分布 ),min( ,2 , 1 , 0 ,)( nMl lk C CC kXP n N kn MN k M 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布 ，其中 p0，q=1-p。, 3 , 2 , 1,)( 1 kpqkXP k 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数 )(xf 在a，b 上为常数，即 ab 1 其他， , 0 , 1 )(abxf 则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为 x dxxfxF)()( 当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,x x ）内的概率为 。 ab xx xXxP 12 21 )( 0， xb。 axb 概率论与数理统计 公式（全） 1 指数分布 其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为 记住积分公式： ! 0 ndxex xn )(xf , x e 0 x , 0, 0 x , )(xF ,1 x e 0 x , , 0 x0。 概率论与数理统计 公式（全） 1 正态分布 设随机变量X的密度函数为 ，