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1、. 概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案 习题习题 一一 1略.见教材习题参考答案. 2.设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生； （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生； （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生； （7） A，B，C 至多有 2 个发生； （8） A，B，C 至少有 2 个发生. 【解】【解】 （1） A （2） AB （3） ABCBCC （4） ABC=CBABCACABABC=ABACBCABCAB
2、C (5) = (6) ABCABCABC . (7) BCACABCAB=ABCABBCACABCABCABC (8) ABBCCA=ABACBCABCCBA 3.略.见教材习题参考答案 4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（）.AB 【解】【解】 P（）=1P（AB）=1P(A)P(AB)AB =10.70.3=0.6 5.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值？ 【解】【解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6
3、. （2） 当 AB= 时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解】【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) =+= 1 4 1 4 1 3 1 12 3 4 7.从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？ 【解】【解】 p= 533213 1313131352 C C C C /C 8.对一个五人学习小
4、组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； . （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故 P（A1）=（）5 （亦可用独立性求解，下同） 5 1 7 1 7 （2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故 P（A2）=()5 5 5 6 7 6 7 (3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日 P（A3）=1P(A1)=1()5 1 7 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随
5、机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示. 2 2 301 604 P 22.从（0，1）中随机地取两个数，求： . （1） 两个数之和小于的概率； 6 5 （2） 两个数之积小于的概率. 1 4 【解】【解】 设两数为 x,y，则 0x,y1. （1） x+y. 6 5 1 1 4 4 17 2 5 5 10.68 125 p (2) xy=. 1 4 11 11 2 44 11 1ddln2 42 x pxy 23.设 P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求 P（BA）ABB 【解】【解】 ()( )() () ()( )( )() P ABP AP AB P B AB
6、P ABP AP BP AB 0.70.51 0.70.60.54 24.在一个盒中装有 15 个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出 3 个球，求第二次 取出的 3 个球均为新球的概率. 【解】【解】 设 Ai=第一次取出的 3 个球中有 i 个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的 3 球均为新球 由全概率公式，有 . 3 0 ( )() () ii i P BP B A P A 3312321333 6996896796 33333333 1515151515151515 CCC CCC CCCC CCCCCCCC 0
7、.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努 力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意知 P（A）=0.8，P（）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题AA 意知 P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知B A （1） ( ) () () () ( ) ( ) ()( ) () P A P B A P
8、AB P A B P B P A P B AP A P B A 0.2 0.11 0.02702 0.8 0.90.2 0.137 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702% (2) ( ) ()() () ( )( ) ()( ) () P A P B AP AB P A B P BP A P B AP A P B A 0.8 0.14 0.3077 0.8 0.1 0.2 0.913 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. . 26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来， 接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.02， 而 B 被误收作 A 的概率为
9、0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 21. 若接收站收到的信息是 A，试问原发信息是 A 的概率是多少？ 【解】【解】 设 A=原发信息是 A，则=原发信息是 B C=收到信息是 A，则=收到信息是 B 由贝叶斯公式，得 ( ) () () ( ) ()( ) () P A P C A P A C P A P C AP A P C A 2/3 0.98 0.99492 2/3 0.98 1/3 0.01 27.在已有两个球的箱子中再放一白球， 然后任意取出一球， 若发现这球为白球， 试求箱子中原有一白球的概率 （箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、 白两种） 【解】【解】设 Ai=箱
10、中原有 i 个白球（i=0,1,2） ，由题设条件知 P（Ai）=,i=0,1,2.又设 B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知 1 3 1 11 12 0 () () () () ( ) () () ii i P B A P A P AB P A B P B P B A P A 2/3 1/31 1/3 1/32/3 1/3 1 1/33 28.某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检 查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】【解】 设 A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品 由贝叶
11、斯公式得 . ( ) ()() () ( )( ) ()( ) () P A P B AP AB P A B P BP A P B AP A P B A 0.96 0.98 0.998 0.96 0.980.04 0.05 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的” ， “一般的” ， “冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30； 如果“谨慎的”被保险人占 20%， “一般的”占 50%， “冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】【解】 设 A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般
12、的”， C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故 则由贝叶斯公式得 ()( ) (|) (|) ()( ) (|)( ) (|)( ) (|) P ADP A P D A P A D P DP A P D AP B P D BP C P D C 0.2 0.05 0.057 0.2 0.050.5 0.150.3 0.3 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件 的次品率. 【解】【解】设 Ai=第 i 道工序出次品（i=1,2,3,4）. 4 1234 1 ()1(
13、) i i PAP A A A A 1234 1() () () ()P A P A P A P A 1 0.98 0.97 0.95 0.970.124 31.设每次射击的命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9? 【解】【解】设必须进行 n 次独立射击. 1 (0.8)0.9 n . 即为 (0.8)0.1 n 故 n11 至少必须进行 11 次独立射击. 32.证明：若 P（AB）=P(A)，则 A，B 相互独立.B 【证】【证】 即(|)(|)P A BP A B ()() ( )( ) P ABP AB P BP B 亦即 () ( )()
14、 ( )P AB P BP AB P B ()1( ) ( )() ( )P ABP BP AP AB P B 因此 ()( ) ( )P ABP A P B 故 A 与 B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求将此密码破译出的概率. 1 5 1 3 1 4 【解】【解】 设 Ai=第 i 人能破译（i=1,2,3） ，则 3 123123 1 ()1()1() () () i i PAP A A AP A P A P A 423 10.6 534 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落
15、的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被 击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】【解】设 A=飞机被击落，Bi=恰有 i 人击中飞机，i=0,1,2,3 . 由全概率公式，得 3 0 ( )(|) () ii i P AP A B P B =(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+ (0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7 =0.458 35.已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效， 反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】【解】 （1） 3 10 110 0 C (0.35) (0.65)0.5138 kkk k p (2) 10 10 210 4 C (0.25) (0.75)0.2241 kkk k p 36.一架升降机开始
