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1、1 概率论与数理统计 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 2样本空间、随机事件样本空间、随机事件 1事件间的关系 则称事件 B 包含事件 A，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生BA 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当Bxxx或ABA A，B 中至少有一个发生时，事件发生BA 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当 A，BBxxx且ABA 同时发生时，事件发生BA 称为事件 A 与事件 B 的差事件， 指当且仅当Bxxx且ABA A 发生、B 不发生时，事件发生BA ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事 BA 件 B 不能同时发生，基本事
2、件是两两互不相容的 ， 则称事件 A 与事件 B 互为逆事件， 又称事件 A且S BA BA 与事件 B 互为对立事件 2运算规则 交换律 ABBAABBA 结合律)()()()(CBACBACBACBA 分配律)()B(CAACBA）（ )()(CABACBA 徳摩根律BABAABAB 3频率与概率频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数称为事 A n 件 A 发生的频数频数，比值称为事件 A 发生的频率频率nnA 概率 ：概率 ： 设 E 是随机试验， S 是它的样本空间， 对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数， 记为 P（A） ，
3、称为事件的概率 1概率满足下列条件：)(AP （1）非负性非负性：对于每一个事件 A 1)(0AP （2）规范性规范性：对于必然事件 S 1)S(P 2 （3）可列可加性可列可加性：设是两两互不相容的事件，有（ n AAA, 21 n k k n k k APAP 11 )()(n 可以取） 2概率的一些重要性质： （i） 0)(P （ii）若是两两互不相容的事件，则有（可以取） n AAA, 21 n k k n k k APAP 11 )()(n （iii）设 A，B 是两个事件若，则，BA )()()(APBPABP)A()B(PP （iv）对于任意事件 A，1)(AP （v） （逆事件
4、的概率）)(1)(APAP （vi）对于任意事件 A，B 有)()()()(ABPBPAPBAP 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A 包含k 个基本事件，即，里 21k iii eeeA 个不同的数，则有中某，是，k k n2 , 1iii , 21 中基本事件的总数 包含的基本事件数 S )( 1j A n k ePAP k ji 5条件概率条件概率 （1）定义：设 A,B 是两个事件，且，称为事件 A 发生的条0)(AP )( )( )|( AP ABP ABP 件下事件 B 发生的条件概率
5、条件概率 （2）条件概率符合概率定义中的三个条件 1。非负性：对于某一事件 B，有0)|(ABP 2。规范性：对于必然事件 S， 1)|(ASP 3 可 列 可 加 性 ： 设是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 则 有, 21 BB 11 )()( i i i i ABPABP （3）乘法定理 设，则有称为乘法公式0)(AP)|()()(BAPBPABP 3 （4）全概率公式： n i ii BAPBPAP 1 )|()()( 贝叶斯公式： n i ii kk k BAPBP BAPBP ABP 1 )|()( )|()( )|( 6独立性独立性 定义定义 设 A，B 是两事件，如果满
6、足等式，则称事件 A,B 相互独立)()()(BPAPABP 定理一 设 A，B 是两事件，且，若 A，B 相互独立，则0)(AP BPABP)|( 定理二 若事件 A 和 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与 与，与，BABAB 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 随机变量随机变量 定义 设随机试验的样本空间为是定义在样本空间 S 上的实值单值函X(e)Xe.S 数，称为随机变量X(e)X 2 离散性随机变量及其分布律离散性随机变量及其分布律 1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量 满足如下两个条件
7、（1）， （2）=1 kk) (pxXP0 k p 1k k P 2 三种重要的离散型随机变量 （1）分布(0 1) 设随机变量X 只能取0 与1 两个值，它的分布律是 ， 则称 X 服从以 p 为参数的分布或两) 101 , 0kp-1p)k( k- 1k pXP（，）（(0 1) 点分布。 （2）伯努利实验、二项分布 设实验 E 只有两个可能结果 ： A 与， 则称 E 为伯努利实验.设 A1)p0pP(A)（ ， 此时.将 E 独立重复的进行 n 次，则称这一串重复的独立实验为 n 重伯努利实p-1)AP( 验。 满足条件（1）， （2）=1 注意n2 , 1 , 0kqp k n )k
8、X( k-nk ， P0 k p 1k k P 4 到是二项式的展开式中出现的那一项，我们称随机变量 X 服从参数 k-nkq p k n n qp）（ k p 为 n，p 的二项分布。 （3）泊松分布 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 的 值 为 0,1,2 ， 而 取 各 个 值 的 概 率 为 其中是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布记为,2 , 1 , 0, k! e )kX( -k kP 0 ）（X 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 x-x,PX)x(F 称为 X 的分布函数 分 布 函 数， 具 有 以 下 性
9、 质 (1) 是 一 个 不 减 函 数 （ 2）)()(xXPxF)(xF （3）1)(, 0)(1)(0FFxF，且是右连续的即)(),()0(xFxFxF 4 连续性随机变量及其概率密度连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量 X 的分布函数 F（x） ，存在非负可积函数，使)(xf 对于任意函数 x 有则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x)称为 X,dttf)x(F x - ）（ 的概率密度函数，简称概率密度 1 概率密度具有以下性质，满足（1）；)(xf1)(2), 0)( - dxxfxf （3）； （4）若在点 x 处连续，则有 2 1 )()( 21
10、x x dxxfxXxP)(xf)(F x ， )(xf 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 若连续性随机变量 X 具有概率密度， 则成 X 在区间(a,b)上服从 ，其他 ， 0 a a-b 1 )( bx xf 均匀分布.记为），（baUX (2)指数分布 若连续性随机变量 X 的概率密度为 其中为常数， 则称 X ，其他 ， 0 0.e 1 )( x- x xf 0 服从参数为的指数分布。 （3）正态分布 5 若 连 续 型 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为， ） xexf x - 2 1 )( 2 2 2 ( 的正态分布或高斯分布，记为，服从参数为为常数，则称（，其中
11、X)0 ），（ 2 NX 特别，当时称随机变量 X 服从标准正态分布10， 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 定理 设随机变量 X 具有概率密度又设函数处处可导且恒有,-)( x xxf，)(xg ，则Y=是连续型随机变量，其概率密度为0)( , xg)(Xg 其他，0 , )()( )( , yyhyhf yf X Y 第三章第三章 多维随机变量多维随机变量 1 二维随机变量二维随机变量 定义 设 E 是一个随机试验， 它的样本空间是和是定义在 S 上X(e)Xe.SY(e)Y 的随机变量，称为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量X(e)X 设 （ X， Y）
12、 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数 x， y， 二 元 函 数 称为二维随机变量（X，Y）的yYxPXy)(Yx)P(XyxF，记成），（ 分布函数 如果二维随机变量 （X， Y） 全部可能取到的值是有限对或可列无限多对， 则称 （X， Y） 是离散型的随机变量。 我们称为二维离散型随机变量（X，Y）的，2 , 1ji)yY( ijji pxXP 分布律。 对于二维随机变量 （X， Y） 的分布函数， 如果存在非负可积函数 f（x， y） ，），（yxF 使对于任意 x，y 有则称（X，Y）是连续性的随机变量，），（），（ y - x - dudvvufyxF 函数 f（
13、x， y） 称为随机变量 （X， Y） 的概率密度， 或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。联合概率密度。 2 边缘分布2 边缘分布 二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数.而 X 和 Y 都是随机），（yxF 变量，各自也有分布函数，将他们分别记为，依次称为二维随机变量（X，Y）（y),xFX Y F 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。边缘分布函数。 6 ，2 , 1ixPXp 1j iiji p，2 , 1jyPYp 1i iij j p 分别称为（X，Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。边缘分布律。 i p j p 分别称， dyyxfxfX）,()( dxyxf
14、yfY）,()()(xfX 为 X，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度边缘概率密度。)(yfY 3 条件分布条件分布 定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若, 0 j yYP 则称为在条件下, 2 , 1, , i p p yYP yYxXP yYxXP j ij j ji jij yY 随机变量X的条件分布律， 同样, 2 , 1, , j p p xXP yYxXP XXyYP i ij i ji ij 为在条件下随机变量 X 的条件分布律。 i xX 设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为， （X，Y）关于 Y 的边缘概),(yxf 率密度为，若对于固定的
15、y，0，则称为在 Y=y 的条件下 X 的条件)(yfY)(yfY )( ),( yf yxf Y 概率密度，记为=)( yxf YX )( ),( yf yxf Y 4 相互独立的随机变量 定义 设及，分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函），（yxF)(Fx X )(Fy Y 数及边缘分布函数.若对于所有 x,y 有，即yPY,xXPyYxXP ，则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。(y)F(F,F YX xyx 对于二维正态随机变量（X，Y） ，X 和 Y 相互独立的充要条件是参数0 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 1，Z=X+Y 的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度.则 Z=X+Y 仍为连续性),(yxf 随机变量，其概率密度为或 dyyyzfzf YX ）,()( dxxzxfzf YX ）,()( 又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别为则)(),(yfxf YX 7 和这两个公式称为 dyfyzfzf YXYX y)()(（） dxxzfxfzf YXYX )()(） 的卷积公式卷积公式 YX ff , 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布有限个相互
