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1、0 习题一 1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M). 解(1) =正面，反面正，反 (2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反) (3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)， (4) =x；0 x m 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A“偶数点”， B“奇数点”，C“点数小于 5”，D“小于 5 的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解.4 , 2,4 , 3 , 2 , 1,5 , 3 , 1,6 , 4 ,
2、 2,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1DCBA A 与 B 为对立事件，即 B；B 与 D 互不相容；AD，CD.A 3. 事件 Ai表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及 BC 的含义，并且用 Ai(i1，2，3)表示出来.B 解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.B 313221AAAAAAB BC 表示三个车间都完成生产任务 321321321321 AAAAAAAAAAAAB 321321321321321321321 AAAAAAAAAAAAA
3、AAAAAAAAC 321 AAACB 4. 如图 11，事件 A、B、C 都相容，即ABC， 把事件AB， ABC， ACB， C AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解 BAABA CBABAACBA CBABBAC BCACBACBAABC 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明. 解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不 一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事 件，C 与 D 是互不相容事件. 6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 AB
4、C，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解不一定. A、B、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容， 即两两 互不相容.如图 12，事件 ABC， 但是 A 与 B 相容. 7. 事件 A 与 B 相容，记 CAB，D A+B，FAB. 说明事件 A、C、D、F 的关系. 解 由于 ABAA+B，ABAA+B，AB 与 AB 互不相容，且 AAB(AB). 因此有 AC+F，C 与 F 互不相容， DAF，AC. 8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 图 11 图 12 1 解记事件 A 表示 “取到的两个球颜色不同”.
5、则有利于事件 A 的样本点数目A.而组成试验的样 1 3 1 5C C 本点总数为，由古典概率公式有 2 35 C P(A) # #A 28 15 2 8 1 3 1 5 C CC (其中A， 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. 解设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件的样本点数为.B 2 5 CB 14 9 1)(1)( 2 8 2 5 C C BPBP 10. 抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率. 解设事件 A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则表示三次均为正面或三次均为反
6、面出现. 而抛A 掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即8，因此 4 3 8 2 1 # 1)(1)( A APAP 11. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率. 解设事件 A 表示“门锁能被打开”. 则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.A 15 8 11)(1)( 2 10 2 7 C CA APAP 从 9 题11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色. 解设事件 A 表示“四张花
7、色各异” ；B 表示“四张中只有两种花色”. ， 1 13 1 13 1 13 1 13 4 52 #CCCCAC # 2 13 2 13 1 13 3 13 1 2 2 4 CCCCCCB（ 1050 13 # # )( 4 52 4 . C A AP 3000 604874366 # # )( 4 52 ）（ . C B BP 13. 口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚，求总值超过壹角的概率. 解设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. )(C# 2 5 2 3 1 5 3 3 1 2 3 8 2 2 5 10 CCCCCCAC，
8、 50 252 126 )(. A AP 14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A“三次都是红球” “全红” ，B“全白” ， C“全黑” ，D“无红” ，E“无白” ， F“无黑” ，G“三次颜色全相同” ， H“颜色全不相同” ，I“颜色不全相同”. 解3327，ABC1， DEF238， 2 GABC3， H3！6，IG24 27 1 )()()(CPBPAP 27 8 )()()(FPEPDP 9 8 27 24 )(, 9 2 27 6 )(, 9 1 27 3 )(IPHPGP 15. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个
9、人的生日在同一个月份的概率. 解设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 126，A 21 12 4 6 11CC 0073 . 0 12 21780 # # )( 6 A AP 16. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P.)(BA 解由于 A 与 B 互不相容，有 AB，P(AB)0 . 1 )(1)()(ABPABPBAP 17. 设事件 BA，求证 P(B)P(A）. 证BA P(B-A)P(B) - P(A) P(B-A)0 P(B)P(A) 18. 已知 P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)， P(AB)0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P().BA
10、解由于 AB 与 AB 互不相容，且 A(A-B)AB，因此有 P(AB)P(A)-P(A-B)0.3a P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7ab P(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3a P()1-P(AB)1-0.3aBA 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解设事件 A 表示“取到废品” ，则表示没有取到废品，有利于事件的样本点数目为，因此AAA 3 46 C P(A)1-P()1-A 3 50 3 46 1 C C A 0.2255 20. 已知事件BA，P(A)lnb 0，P(B)lna，求a 的取值范围. 解因
11、BA，故 P(B)P(A)，即 lnalnb,ab，又因 P(A)0，P(B)1，可得 b1，ae，综上分 析 a 的取值范围是： 1bae 21. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解由于对任何事件 A，B，均有 ABAA+B 且 P(A+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有 P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B) 22. 一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以 365 天计算). 解设事件 A 表示“100 名学生的生日都
12、不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目为A364100，而样本空 间中样本点总数为 3 365100，所求概率为 100 100 365 364 1 # # 1)(1)( A APAP = 0.2399 23. 从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则表示“四只手套中任何两只均不能配成A 一副”. 210 80 # # )( 4 10 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 C CCCCC A AP 62 . 0 )(1)(APAP 24. 某单位有 92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅
13、报纸的人中仍有 85的职工订阅杂志， 从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸. 解设事件 A 表示 “任找的一名职工订阅报纸” ， B 表示 “订阅杂志” ， 依题意 P(A)0.92， P(B)0.93， P(B )0.85A P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P(B)AAA 0.920.080.850.988 P(A)P(AB)-P(B)0.9880.930.058B 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩 优秀，若 P(A)P(B)0.4，P
14、(AB)0.28，求 P(AB)，P(BA)，P(AB). 解P(AB)7 . 0 4 . 0 28 . 0 )( )( BP ABP P(BA)7 . 0 )( )( AP ABP P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.52 26. 设 A、B是两个随机事件. 0P(A)1，0P(B)1， P(AB)P()1. 求证 P(AB)P(A)P(B).AB 证 P ( A)P ()1 且 P ( AB )P()1BABAB P ( AB )P (A)B )(1 )()( )( )( )( )( BP ABPAP BP BAP BP ABP P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB
15、) 整理可得 P(AB)P( A) P( B) 27. 设 A 与 B 独立，P( A)0.4，P( AB)0.7，求概率 P (B). 解P( AB)P(A)P(B)P( A)P() P( B)AA 0.70.40.6P( B ) P( B )0.5 28. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为什么? 解因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故 A 与 B 不可能互不 相容. 29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元
16、件使用 1000 小时后，最多只坏了一 个的概率. 解 设 事 件A i 表 示 “ 使 用1 0 0 0小 时 后 第i个 元 件 没 有 坏 ” ， i1， 2， 3， 显然 A1， A2， A3相互独立， 事件 A 表示 “三个元件中最多只坏了一个” ， 则 AA1A2A3A2A3A11A A3A1A2，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且 P(A1)P(A2)P(A3)0.82A3A 4 P( A)()(3)(1 2 1 3 1 APAPAP 0.8330.820.2 0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3，0.2，0.2，并且任何 一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)(10.3)(10.2)(10.2)0.448 31. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二者独立，现在从外部
