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1、习题解答习题一1-1 与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在径向上的分量.有（式中叫做单位矢），则 式中就是速度径向上的分量，不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.有表轨道节线方向单位矢），所以 式中就是加速度的切向分量. (的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)1-2 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r，然后根据 =，及而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 =及= 你认为两种
2、方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有， 故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在平面上运动，运动方程为=3+5, =2+3-4.式中以 s计，,以m计(1)以时间为变量，写出质点位
3、置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算0 s时刻到4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算4 s 时质点的速度；(5)计算0s 到4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） (2)将,代入上式即有 (3) (4) 则 (5) (6) 这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以(m)的速率收绳时，
4、试求船运动的速度和加速度的大小 图1-4解： 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知 将上式对时间求导，得 题1-4图根据速度的定义，并注意到,是随减少的， 即 或 将再对求导，即得船的加速度1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 2+6，的单位为，的单位为 m. 质点在0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值解： 分离变量： 两边积分得由题知，时，, 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 4+3 ，开始运动时，5 m， =0，求该质点在10s 时的速度和位置 解： 分离变量，得 积分，得 由题知，, ,故 又因为 分离变量， 积分得 由题知 , ,故 所以时1-7
5、 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒计，求：(1) 2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少? 解： (1)时， (2)当加速度方向与半径成角时，有即 亦即 则解得 于是角位移为1-8 质点沿半径为的圆周按的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于解：（1） 则 加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即 当时，1-9 半径为的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点的运动方程为，式中/是轮子滚动的角速度，当与水平线接触的瞬间
6、开始计时此时所在的位置为原点，轮子前进方向为轴正方向；(2)求点速度和加速度的分量表示式解：依题意作出下图，由图可知 （1）题1-9图（2）1-10 以初速度20抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径；(2)落地处的曲率半径(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示题1-10图(1)在最高点，又 (2)在落地点，,而 1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为=0.2 rad，求2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：当时， 则1-12 如题1-12图，物体以相对的速度沿斜面滑动
7、，为纵坐标，开始时在斜面顶端高为处，物体以匀速向右运动，求物滑到地面时的速度解：当滑至斜面底时，则,物运动过程中又受到的牵连运动影响，因此，对地的速度为题1-12图1-13 一船以速率30kmh-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率40kmh-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)题1-13图由图可知 方向北偏西 (2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得方向南偏东1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停
8、航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 ms-1，求轮船的速率解： 依题意作出矢量图如题1-14所示题1-14图 由图中比例关系可知 习题二2-1因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a，故m2对地加速度，由图(b)可知，为a2=a1-a 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有m1g-T=m1a1 T-m2g=m2a2 联立、式，得讨论 (1)若a=0，则a1=a2表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若a=2g，则T=f=0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1,
9、m2均作自由落体运动题2-1图2-2以梯子为对象，其受力图如图(b)所示，则在竖直方向上，NB-mg=0 又因梯无转动，以B点为转动点，设梯子长为l，则NAlsin-mgcos=0 在水平方向因其有加速度a，故有f+NA=ma 题2-2图式中f为梯子受到的摩擦力，其方向有两种可能，即 f=0mg 联立、式得2-3 (1) 于是质点在2s时的速度(2)2-4 (1)分离变量，得即 (2) (3)质点停止运动时速度为零，即t，故有 (4)当t=时，其速度为即速度减至v0的.2-5分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a，则m2对地加速度a2=a
10、-a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a，由牛顿定律，有m2g-T=m2(a-a)T=m1a题2-5图联立，解得a=g方向向下(2) m2对地加速度为a2=a-a= 方向向上m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝=a相+a牵=arctan=arctan=26.6，左偏上2-6依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下，而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为p=mv-mv0由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下2-7由题知，小球落地时间为0.5s因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1=gt=0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2=0.5g设向上为y轴正向，则动量的增量p=mv2-mv1 方向竖直向上，大小 p=mv2-(-mv1)=mg碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-8 (1)若物体原来静止，则p1= i kgms-1,沿x轴正向，若物体原来具有-6 ms
