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1、.数学专业的数学与计算机专业的数学的比较（一）计算机科学与技术这一门科学深深的吸引着我们这些同学们，上应用数学系已经有近三年了，自己也做了一些思考，原先不管是国内还是国外都喜欢把计算机系分为计算机软件理论、计算机系统、计算机技术与应用。后来又合到一起，变成了现在的计算机科学与技术。我一直认为计算机科学与技术这门专业，在本科阶段是不可能切分成计算机科学和计算机技术的，因为计算机科学需要相当多的实践，而实践需要技术。每一个人（包括非计算机专业），掌握简单的计算机技术都很容易（包括原先Major们自以为得意的程序设计）。但计算机专业的优势是：我们掌握许多其他专业并不“深究”的东西，例如，算法，体系结
2、构，等等。非计算机专业的人可以很容易地做一个芯片，写一段程序，但他们做不出计算机专业能够做出来的大型系统。今天我想专门谈一谈计算机科学，并将重点放在计算理论上。一、计算机理论的一个核心问题从数学谈起： 1、高等数学VS数学分析记得当年大一入学，每周四课时高等数学，天天作业不断（那时是七天工作制）。颇有些同学惊呼走错了门：咱们这到底念的是什么系？不错，你没走错门，这就是计算机科学与技术系。我国计算机科学系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人（方向不见得有多大的问题，但是做得不是那么尽如人意）。而计算机的理论研究，说到底了，如网络安全学，图形图像学，视频音频处理，哪个方向都与数学有着很大的
3、关系，虽然也许是正统数学家眼里非主流的数学。这里我还想阐明我的一个观点：我们都知道，数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践。有些数学研究工作者喜欢用一些现存的理论知识去推导若干条推论，殊不知其一：问题考虑不全很可能是个错误的推论，其二：他的推论在现实生活中找不到原型，不能指导实践。严格的说，我并不是一个理想主义者，政治课上学的理论联系实际一直是指导我学习科学文化知识的航标（至少我认为搞计算机科学与技术的应当本着这个方向）。 其实我们计算机系学数学仅学习高等数学是不够的（典型的工科院校一般都开的是高等数学），我们应该像数学系
4、一样学一下数学分析（清华计算机系开的好像就是数学分析，我们学校计算机学院开的也是，不过老师讲起来好像还是按照高等数学讲），数学分析这门科学，咱们学计算机的人对它有很复杂的感情。在于它是偏向于证明型的数学课程，这对我们培养良好的分析能力和推理能力极有帮助。我的软件工程学导师北工大数理学院的王仪华先生就曾经教导过我们，数学系的学生到软件企业中大多作软件设计与分析工作，而计算机系的学生做程序员的居多，原因就在于数学系的学生分析推理能力，从所受训练的角度上要远远在我们平均水平之上。当年出现的怪现象是：计算机系学生的高中数学基础在全校数一数二（希望没有冒犯其它系的同学），教学课时数也仅次于数学系，但学完
5、之后的效果却不尽如人意。难道都是学生不努力吗，我看未见得，方向错了也说不一定，其中原因何在，发人深思。 我个人的浅见是：计算机系的学生，对数学的要求固然跟数学系不同，跟物理类差别则更大。通常非数学专业的所教的“高等数学”，无非是把数学分析中较困难的理论部分删去，强调套用公式计算而已。而对计算机系来说，数学分析里用处最大的恰恰是被删去的理论部分。说得难听一点，对计算机系学生而言，追求算来算去的所谓“工程数学”已经彻底地走进了误区。记上一堆曲面积分的公式，难道就能算懂了数学？那倒不如现用现查，何必费事记呢？再不然直接用Mathematica或是Matlab好了。 退一万步讲，即使是学高等数学我想大
6、家看看华罗庚先生的高等数学导论也是比一般的教材好得多。华罗庚在数学上的造诣不用我去多说，但是他这光辉的一生做得我认为对我们来说，最重要的几件事情： 首先是它筹建了中国科学院计算技术研究所，这是我们国家计算机科学的摇篮。再有就是他把很多的高等数学理论都交给了做工业生产的技术人员，推动了中国工业的进步。第三件就是他一生写过很多书，但是对高校师生价值更大的就是他在病期间在病床上和他的爱徒王元写了高等数学引论（王元与其说是他的爱徒不如说是他的同事，是中科院数学所的老一辈研究员，对歌德巴赫猜想的贡献全世界仅次于陈景润）。这书在我们的图书馆里居然找得到，说实话，当时那个书上已经长了虫子，别人走到那里都会闪
7、开，但我却格外感兴趣，上下两册看了个遍，我的最大收获并不在于理论的阐述，而是在于他的理论完全的实例化，在生活中去找模型。这也是我为什么比较喜欢具体数学的原因，正如我在上文中提到的，理论脱离了实践就失去了它存在的意义。正因为理论是从实践当中抽象出来的，所以理论的研究才能够更好的指导实践，不用于指导实践的理论可以说是毫无价值的。 我在系里最爱做的事情就是给学弟学妹们推荐参考书。没有别的想法，只是希望他们少走弯路。中文的数学分析书，一般都认为以北大张筑生老师的“数学分析新讲”为最好。张筑生先生一生写的书并不太多，但是只要是写出来的每一本都是本领域内的杰作，这本当然更显突出些。这种老书看起来不仅是在传
8、授你知识，而是在让你体会科学的方法与对事物的认识方法。万一你的数学实在太好，那就去看菲赫金哥尔茨的“微积分学教程”好了但我认为没什么必要，毕竟你不想转到数学系去。吉米多维奇的“数学分析习题集”也基本上是计算型的书籍。书的名气很大，倒不见得适合我们，还是那句话，重要的是数学思想的建立。生活在信息社会里我们求的是高效，计算这玩意还是留给计算机吧。不过现在多用的似乎是复旦大学的数学分析，高等教育出版社的，也是很好的教材。 中国的所谓高等代数，就等于线性代数加上一点多项式理论。我以为这有好的一面，因为可以让学生较早感觉到代数是一种结构，而非一堆矩阵翻来覆去。这里不得不提南京大学林成森、盛松柏两位老师编
9、的“高等代数”，感觉相当舒服。此书相当全面地包含了关于多项式和线性代数的基本初等结果，同时还提供了一些有用的又比较深刻的内容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，广义逆矩阵等等。可以说，作为本科生如能吃透此书，就可以算是高手。国内较好的高等代数教材还有清华计算机系用的那本，清华出版社出版，书店里多多，一看就知道。从抽象代数的观点来看，高等代数里的结果不过是代数系统性质的一些例子而已。莫宗坚先生的代数学里，对此进行了深刻的讨论。然而莫先生的书实在深得很，作为本科生恐怕难以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再读。 正如上面所论述的，计算机系的学生学习高等数学：知其然更要知其所以然
10、。你学习的目的应该是：将抽象的理论再应用于实践，不但要掌握题目的解题方法，更要掌握解题思想。对于定理的学习：不是简单的应用，而是掌握证明过程即掌握定理的由来，训练自己的推理能力。只有这样才达到了学习这门科学的目的，同时也缩小了我们与数学系的同学之间思维上的差距。 2、计算数学基础“概率论与数理统计”这门课很重要，可惜大多数院校讲授这门课都会少些东西。少了的东西现在看至少有随机过程。到毕业还没有听说过Markov过程，此乃计算机系学生的耻辱。没有随机过程，你怎么分析网络和分布式系统？怎么设计随机化算法和协议？据说清华计算机系开有”随机数学”，早就是必修课。另外，离散概率论对计算机系学生来说有特殊
11、的重要性。而我们国家工程数学讲的都是连续概率。现在，美国已经有些学校开设了单纯的”离散概率论”课程，干脆把连续概率删去，把离散概率讲深些。我们不一定要这么做，但应该更加强调离散概率是没有疑问的。这个工作我看还是尽早的做为好。 计算方法学（有些学校也称为数学分析学）是最后一门由数理学院给我们开的课。一般学生对这门课的重视程度有限，以为没什么用。不就是照套公式嘛！其实，做图形图像可离不开它，密码学搞深了也离不开它。而且，在很多科学工程中的应用计算，都以数值的为主。这门课有两个极端的讲法：一个是古典的“数值分析”，完全讲数学原理和算法；另一个是现在日趋流行的“科学与工程计算”，干脆教学生用软件包编程
12、。我个人认为，计算机系的学生一定要认识清楚我们计算机系的学生为什么要学这门课，我是很偏向于学好理论后用计算机实现的，最好使用C语言或C+编程实现。向这个方向努力的书籍还是挺多的，这里推荐大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出版社（Springer）联合出版的计算方法（Computational Methods）。华中理工大学数学系写的（现华中科技大学）。这方面华科大做的工作在国内应算是比较多的，而个人认为以这本最好，至少程序设计方面涉及了：任意数学函数的求值，方程求根，线性方程组求解，插值方法，数值积分，场微分方程数值求解。李庆扬先生的那本则理论性过强，与实际应用结合得不太紧，可能比较适合
13、纯搞理论的。3、也谈离散数学每个学校本系里都会开一门离散数学，涉及集合论，图论，和抽象代数，数理逻辑。不过，这么多内容挤在离散数学一门课里，是否时间太紧了点？另外，计算机系学生不懂组合和数论，也是巨大的缺陷。要做理论，不懂组合或者数论吃亏可就太大了。从理想的状态来看，最好分开六门课：集合，逻辑，图论，组合，代数，数论。这个当然不现实，因为没那么多课时。也许将来可以开三门课：集合与逻辑，图论与组合，代数与数论。（这方面我们学校已经着手开始做了）不管课怎么开，学生总一样要学。下面分别谈谈上面的三组内容。 （1）古典集合论，北师大出过一本基础集合论不错。 数理逻辑，中科院软件所陆钟万教授的面向计算机
14、科学的数理逻辑就不错。现在可以找到陆钟万教授的讲课录像，http：/ 学完以上各书之后，如果你还有精力兴趣进一步深究，那么可以试一下GTM系列中的Introduction to Axiomatic Set Theory和A Course in Mathematical Logic。这两本都有世界图书出版社的引进版。你如果能搞定这两本，可以说在逻辑方面真正入了门，也就不用再浪费时间听我瞎侃了。 （2）据说全中国最多只有三十个人懂图论。此言不虚。图论这门科学，技巧性太强，几乎每个问题都有一个独特的方法，让人头痛。不过这也正是它魅力所在：只要你有创造性，它就能给你成就感。我的导师说，图论里面随便找一
15、块东西就可以写篇论文。大家可以体会里面内容之深广了吧！国内的图论书中，王树禾老师的”图论及其算法”非常成功（顺便推荐大家王先生的“数学思想史”，个人认为了解科学史会对我们的学习和研究起到很大的推动作用）。一方面，其内容在国内教材里算非常全面的。另一方面，其对算法的强调非常适合计算机系（本来就是科大计算机系教材）。有了这本书为主，再参考几本翻译的，如Bondy & Murty的图论及其应用，人民邮电出版社翻译的图论和电路网络等等，就马马虎虎，对本科生绝对足够了。再进一步，世界图书引进有GTM系列的Modern Graph Theory。此书确实经典！国内好象还有一家出版了个翻译版。不过，学到这个
16、层次，还是读原版好（说实话，主要是亲身体验翻译版的弊端，这个大家自己体会）。搞定这本书，也标志着图论入了门。 离散数学方面我们北京工业大学实验学院有个世界级的专家，叫邵学才，复旦大学概率论毕业的，教过高等数学，线性代数，概率论，最后转向离散数学，出版著作无数，论文集新加坡有一本，堪称经典，大家想学离散数学的真谛不妨找来看看。这老师的课我专门去听过，极为经典。不过你要从他的不经意的话中去挖掘精髓。在同他的交谈当中我又深刻地发现一个问题，虽说邵先生写书无数，但依他自己的说法每本都差不多，我实在觉得诧异，他说主要是有大纲的限制，不便多写。这就难怪了，很少听说国外写书还要依据个什么大纲（就算有，内容也宽泛的多），不敢
