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1、2011 年 秋季 五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽 第 1 页 共 8 页 三角形中的模型（一）三角形中的模型（一）三角形中的模型（一）三角形中的模型（一） 知识点与例题详解知识点与例题详解 共角定理（鸟头模型）共角定理（鸟头模型）共角定理（鸟头模型）共角定理（鸟头模型） 两个三角形中有一个角相等或互补两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角共角三角形的面积比等于对应角 ( ( ( (相等角或互补角相等角或互补角) ) ) )两夹边的乘积之比两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图(或
2、D、E分别在BA、CA延长线上 则 )( 大大 小小 夹角两边： = ACAB AEAD AC AE AB AD S S ABC ADE 即，共角三角形的面积比等于对应角即，共角三角形的面积比等于对应角( ( ( (相等角或互补角相等角或互补角) ) ) )两夹边的乘积之比两夹边的乘积之比 证明：证明： （1 1 1 1）共角为相等角）共角为相等角 连接连接 BEBEBEBE，由同高看底，可知，由同高看底，可知 ACAB AEAD S S AC AE S S AB AD S S ABC EAD ABC ABE ABE ADE = 得将 :) 2() 1 () 2() 1 ( （2 2 2 2）
3、共角为对顶角）共角为对顶角 在在 ABABABAB、ACACACAC 上分别取点上分别取点 D D D D E E E E 连接连接 D D D D E E E E ，则，则 EADADE SS = 连接连接 BEBEBEBE，同，同(1)(1)(1)(1)理可证理可证 ACAB AEAD S S ABC EAD = （3 3 3 3）共角为互补角）共角为互补角 在在 ABABABAB 上取一点上取一点 D D D D 连接连接 D D D D E E E E，则，则 EADADE SS = 连接连接 BEBEBEBE，同，同(1),(1),(1),(1),可证可证 ACAB AEAD S S
4、 ABC EAD = 例：例：1 1 1 1已知三角形已知三角形 ADEADEADEADE 的面积是的面积是 1 1 1 1，AD:AB=2:3AD:AB=2:3AD:AB=2:3AD:AB=2:3，AE:AC=1:4AE:AC=1:4AE:AC=1:4AE:AC=1:4，求三角形，求三角形 AEDAEDAEDAED 的面积的面积 2 2 2 2已知三角形已知三角形 ABCABCABCABC 的面积是的面积是 9 9 9 9，AD:AB=1:2AD:AB=1:2AD:AB=1:2AD:AB=1:2，AE:EC=1:1AE:EC=1:1AE:EC=1:1AE:EC=1:1，求三角形，求三角形 A
5、EDAEDAEDAED 的面积的面积 分析：分析：(1)(1)(1)(1)由鸟头定理：由鸟头定理：= AC AE AB AD S S ABC ADE 2 3 1 4 = = = = 1 6 , , , ,661= ABC S (2)(2)(2)(2)由鸟头定理：由鸟头定理：5.22 4 1 9 4 1 2 1 2 1 = ADE ABC ADE S AC AE AB AD S S 2011 年 秋季 五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽 第 2 页 共 8 页 例例 1 1 1 1 分析：共角定理（鸟头分析：共角定理（鸟头） ：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比共角三角形的面积比等
6、于对应角两夹边的乘积之比 35 8 75 42 = = = ACAB AEAD S S ABC ADE 2 7035816cmS ABC = 例例 2 2 2 2 分析：共角定理（鸟头分析：共角定理（鸟头） ：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比 15 4 35 22 = = = BDBE BCAB S S ADE ABC 2 5 .121543cmS BDE = 例例 3 3 3 3 分析：180= + HAGBAC 2 10 1 1 11 11 cmSS AGAH ACAB S S AHGABC AHG ABC = = = = 同理可得
7、2 10cmSSS IBDECFABC = 即另外三个三角形的面积和是 30cm 例例 4 4 4 4 分析： 2 5,cmSSEFAE DEFADE = AABCDAE共角与 2 3065 6 1 32 11 cmS ACAB AEAD S S ABC ABC DAE = = = 2011 年 秋季 五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽 第 3 页 共 8 页 例例 5 5 5 5 分析：180= + FADBAC 661 6 1 32 11 = = = ADF FDA ABC S AFAD ACAB S S 180= + FCEBCA 881 8 1 24 11 = = = ECF FC
8、E ABC S CECF BCAC S S 180= + DBEABC 331 3 1 31 11 = = = DBE DBE ABC S BEDB BCAB S S 183861=+= DEF S 例例 6 6 6 6 分析：由共角定理知分析：由共角定理知: : : : 180= + FAEDAB 8 1 24 11 = = = AEAH ABAD S S HAE ABD ABDHAE SS 8= 180= + EBFABC 3 1 31 11 = = = BFBE BCAB S S FBE ABC ABCFAD SS 3= 180= + GCFBCD 8 1 42 11 = = = GCC
9、F DCBC S S GCF BCD BCDHAE SS 8= 180= + HDGADC 15 1 35 11 = = = DGDH DCAD S S HDG ADC ADCHAE SS 8= ABD S= ABC S= BCD S= ABD S= ADC S= ABCD S 2 1 18:1 )215838( 2 = + = ABC ABC EFGH ABCD S S S S 超常挑战超常挑战 分析：分析：图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是“ “ “ “X X X X 型型” ” ” ”鸟头。鸟头。 以右图为例，以右图为例， AHG
10、ABC AHG ABC SS AGAH ACAB S S = = = 1 1 11 11 因此因此，图中每一个红色三角形和对应的绿色三角形面积都相等图中每一个红色三角形和对应的绿色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外那么内圈三角形石板的总面积和外 圈三角形石板的总面积一样大。圈三角形石板的总面积一样大。 越玩越聪明越玩越聪明 分析分析：这道题可以分析这道题可以分析、计算如下计算如下：在计算各个面上在计算各个面上 4 4 4 4 个数的和时个数的和时，顶点上的数总是顶点上的数总是 分属分属 3 3 3 3 个不同的面个不同的面，这样这样，每个顶点上的数都被重复计算了每个顶点上的数都被
11、重复计算了 3 3 3 3 次次。因此因此，各个面各个面 上上 4 4 4 4 个数的和为个数的和为 1 1 1 18 8 8 8 这这 8 8 8 8 个数的和的个数的和的 3 3 3 3 倍倍，即即（1+2+3+1+2+3+1+2+3+1+2+3+8+8+8+8） 3=1083=1083=1083=108。又因为又因为 正方体有正方体有 6 6 6 6 个面个面，也就是每个面上的四个数的和应是也就是每个面上的四个数的和应是 108108108108 6=18.186=18.186=18.186=18.18 应是我们填数应是我们填数 的标准。如果在前面上填入的标准。如果在前面上填入 1 1
12、1 1、7 7 7 7、2 2 2 2、8 8 8 8（如图），那么右侧面上已有（如图），那么右侧面上已有 2 2 2 2、8 8 8 8，其，其 余两顶点只能填余两顶点只能填 3 3 3 3、5 5 5 5。以此类推，答案如图所示。以此类推，答案如图所示。 2011 年 秋季 五年级第三讲三角形中的模型(一)周艳丽 第 4 页 共 8 页 家庭作业家庭作业 1 1 1 1分析：由共角定理得：由共角定理得： 9 4 33 22 = = = BCAB BEBD S S ABC BDE 2 244954cmS BDE = 由等积变形得：由等积变形得： 2 12224cmS EDC = 2 2 2
13、2分析：由共角定理得：由共角定理得： 6 1 23 11 = = = ADAB AMAN S S ABD ANM 12 5 2 1 6 5 6 5 = ABDNMDB SS 3 3 3 3 分析：分析：180= + HAGBAC AHGABC AHG ABC SS AGAH ACAB S S = = = 1 1 11 11 同理可得同理可得 IBDECFAHGABC SSSS = 2 44)3616977(cmS ABC = 4 4 4 4分析：共角定理（鸟头分析：共角定理（鸟头） ：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比 4 1 85 52
14、; 56 15 87 35 ; 35 6 57 32 = = = = = = = ACAB CFCE S S BCAB BEBD S S ACAB AEAD S S ABC CEF ABC BDF ABC ADE 令 ABC S=1，则 4 1 ; 56 15 ; 35 6 = CEFBDFADE SSS 则 2 140 280 87 5 .43 280 87 4 1 35 6 56 15 1cmSS ABCDEF = 5 5 5 5分析分析: : : :共角定理（鸟头共角定理（鸟头） ：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比 连接连接 DBD
15、BDBDB， 6 1 32 11 ; 6 1 23 11 = = = = = CFCG CBDC S S AEAH ABAD S S CFG DCB AEH ADB ABCDDCBADBDCBADBCFGAEH SSSSSSS ）（6666=+=+=+ 同理，连接同理，连接 ACACACAC， 6 1 32 11 ; 6 1 23 11 = = = EBF ACB HDG ADC S S S S ABCDABCADCABCADCEBFHDG SSSSSSS ）（6666=+=+=+ ABCDEBFHDGCFGAEHEHGF SSSSSS += 2 65513166cmS ABCD =+= ）（ 6 6 6 6 分析：四次鸟头得：分析：四次鸟头得： FGEF CEDE S S FGEF ECBE S S FGEF AEDE S S FGEF AEBE S S EFG EDC EFG EBC EFG ADE EFG AEB = = = = ; EFG ABCD EFG EDC EFG EBC EFG ADE EFG
