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1、勇于尝试，把握过程，关注细节 - 1 - 目录 第一讲奇妙的幻方3 练习卷 . 9 第二讲可能性的大小（游戏与对策 ） 10 练习卷 12 第三讲图形的面积（一）13 第四讲认识分数 17 练习卷 21 第五讲行程中的相遇（相遇问题 ）22 练习卷 26 第六讲公因数与公倍数27 综合演练. 31 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 2 - 第一讲幻方（ 第一课时） 【知识概述】 在一个 nn 的正方形方格中， 填入一些连续的数字，使得所有的横、 竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇 数幻方和偶数幻方。 （n 是 几就表示为 几阶 幻方） 。本讲， 我们将来学习这方面
2、的知识。 例题讲学 例 1在一个 33 的表格内，填入1-9 九个数，（不能重复，不能 遗漏），使得 3 个横列、 3 个竖列和 2 个斜列所加之和都相等。可以怎 样填？【和为15】 【思路分析】 这样的 33 幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩 ，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【 注：戴指头，履指脚。 】 试试填一填吧！ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 3 - 幻方（ 第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写33 的幻方，其实在幻方的知识世 界里，像33、55、77像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲 我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个55 的
3、方格中，填入1-25 这 25 个数字，使 5 个横列、 5 个竖列、 2 个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看 样 子 ， 要想顺 利填 写 好 这 么多 的 表格，还真 的 不容易，没有口诀 真 的 不行，下面这 个 口诀 要 记 牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边 放，双出占位写下方。2 9 1 8 5 7 4 6 10 3 11 2 9 10 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 4 - 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写 七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方，本讲，我们继续试着填写七
4、阶幻 方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！ 一 居首 行 正 中 央，依 次 斜 向 右 上方，右 出 框时 左 边写，上出框时 下边放，双出占位 写下 方。 把 1-49 这 49 个 数 字 填 入下 面 方格 内，使得所有的横、竖、 斜列所加之和都相等。 把 1-81 这 81 个数字填入下面表方格内，使得所有的横、竖、斜列 所加之和都相等。 1 4 3 2 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 5 - 幻方（第四课时） 上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下 面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。 例题讲学 将 1-16 这 16 个数填入下面这个44 的
5、方格内， 使得所有的横、竖、 斜列所加之和都相等。 【思路点拨】 首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要 求是：调换（数与数间的调换）先把1-16 这 16 个数按顺序填好。如： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。 2 15，3 14,5 12,8 9，最后形成新的方格。 1 15 14 4 12 6 7 9 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 6 - 幻方（第五
6、课时） 知识概述 对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二 阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧： 偶 阶 幻 方 分 两 类 : 双 偶 数 : 四 阶 幻 方 ，八 阶 幻 方 、十 二 阶 幻 方 ,.,4 K 阶 幻 方 ，（ K 表 示 一 个 非 零 自 然 数 ） 可 用 ,方 法 很 简 单 : 1)把 自 然 数 依 次 排 成 方 阵 2 )把 幻 方 划 成 4 4 的 小 区 ,每 个 小 区 划 对 角 线 , 3 )把 这 些 对 角 线 所 划 到 的 数 ,保 持 不 动 , 4 )把 没 划 到 的 数 ,按 幻 方 的 中 心 ,以 中
7、 心 对 称 的 方 式 ,进 行 对 调 ,【 与 4 4 幻 方 的 方 法 一 样 】 5 ） 幻 方 完 成 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 8 10 11 5 13 3 2 16 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 7 - 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 现在试着完成一下八阶幻方吧 你
8、能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？ 同步精练： 把 1-144 这 144 个数填入 1212 的方格内，使其成为一个十二 阶幻方。 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 8 - 恭喜你顺利完成了考验！ 练习卷 按要求填写幻方： 1、三阶幻方 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 9 - 2、四阶幻方 3、五阶幻方 4、七阶幻方 5、八阶幻方 6、九阶幻方 第二讲可能性的大小（游戏与对策） 例题讲学 例 1 有一堆棋子共 53 颗，甲、乙两人轮流从中拿走1 颗或 2 颗棋子。规定谁拿走最 后 1 颗棋子，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？ 【思路点拨】 勇于尝试，把握过程，关注细节
9、- 10 - 由于甲、乙两人轮流从中拿走1 颗或 2 颗棋子，即每次保证两人共拿走1+2=3 颗，53 颗共要取 533=17（次） 2（颗） ，即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那2 颗。 这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是3 就必胜无疑了。 关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余的 先拿走，这样先拿的人就容易取胜了。 同步精练 1、有 287 个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取， 每人每次最多取 2 个，最少取 1 个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他 应该如何安排？ 2、有 388 个球，甲、乙两人用这些球进行取球
10、比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取，每 人每次取 1 个、2 个、或 3 个，取最后一个球的人为失败者。如果甲先取，甲为了取胜， 他应该采取怎样的策略？ 3、有 197 粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少取1 个，最多取 4 粒，不能不 取，取到最后一粒的为胜者， 现在两人通过抽签决定谁先取？你认为先取的获胜，还是 后取的获胜？ 第二讲可能性的大小（游戏与对策） 第二课时 例 2 有两堆火柴，一对26 根，一堆 11 根。甲乙两人轮流从中拿走1 根 或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢， 技巧 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 11 - 问甲如何取胜？ 【思路点
11、拨】这是另一类对策游戏。 我们先考虑特殊情况。 当两堆的火 柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就 能保证取到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取 走多的那几根就行了。 同步精练 1、有两个箱子分别装有63、108 个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。 规定取到最后一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？ 2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这 堆石子一次拿走完），但每次至少拿1 粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获 胜，问如何才能取胜？ 3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的
12、，没人每次画一个，所画的 不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个，谁就获胜。如 何才能获胜？ 练习卷 1、有一枚骰子，六个面分别写着1-6 六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝 上的面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是（） 。 2、有 102 粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取1 粒，最多取 4 粒， 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 12 - 谁取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的策略是什么？ 3、桌面上有 199 根火柴，甲、乙两人轮流地取1 根或 2 根，谁取到最后一 根火柴为胜，问获胜的策略是什么？ 4、王叔叔体重 75 千克，他从地里摘了2 筐西瓜，每筐
13、35 千克，王叔叔回 家要经过一座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个办法，让他和西瓜 一次安全地过河去。 5、一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个点 串起来，你能做到吗？ 第三讲图形的面积（一） 第一课时 例题讲学 例 1 已知平行四边形的面积是28 平方厘米，求阴影部分的面积。 5 厘米 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 13 - 5 厘米 6 【思路点拨】 4 厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是 28 平方厘米， 它的底为 284=7 （厘米），平行四边形的底减去5 厘米就是三角 形的底， 7-5=2（厘米） 。根据三角形的面积公
14、式直接求出阴影部分的面积。 求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积； 还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简 便的方法。 同步精练 1. 下面的梯形中，阴影部分的面积是150 平方厘米，求梯形的面积。 2已知平行四边形的面积是48 平方厘米，求阴影部分的面积。 3如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米） 9 第三讲图形的面积（一） 第二课时 例题讲学 例 2 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 12 15 厘米 25 厘米 技巧 4 厘 米 6 厘 米 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 14 - 【
15、思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条 边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。 仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长GA 和 FC，它们会相交（设 交点为 H） ，这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方 形 GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分（AGB、BFC 及AHC）的面积 都能直接求出。 同步精 练 1、求右图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） 2、求右图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） H C 4 6 B E F A G 乙 甲 C 4 6 B E F A G 乙 甲 4 3 4 3 勇于尝试，把握过程，关注细节 -
16、 15 - 第三讲图形的面积（一） 第三课时 例题讲学 例 3 如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6 平方厘米，求 CE 的长度。 【思路点拨】题目中告诉我们， 甲三角形的面积比乙三角形的面积大6 平方 厘米，即 甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF 后相减的结果 还是 6 平方厘米，即： 甲-乙=6（平方厘米） （甲+四边形 ABCF）-（乙+四边形 ABCF）=6（平方厘米） 即：正方形 ABCD - ABE=6（平方厘米） 这就是说正方形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积大 6 平方厘米。用正方形的 8 8 5 5 4 厘米 A D E F 乙 B C 甲 4 厘 米 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 16 - 面积减去 6 就得到三角形 ABE 的面积，再用三角
