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1、第一篇 力学,Mechanics,Mechanics,第三章 刚体的定轴转动,一、 刚体（rigid body）的运动,1. 刚体：,特殊的质点系，形状和体积不变化。,各质元均作 圆周运动,刚体的运动:,固体的 理想模型,rotation of rigid-body with a fixed axis,平动,转动,滚动,平动+转动,定轴转动,1,1）质心的位矢,质点系的N个质点m1,m2,mN,对应的位矢,定义：,质心的位矢,质心,注,均匀分布体：,2,或,2.刚体的平动,用质心运动来代表整体的运动,?,2）质心运动定理,质心的速度：,质心的加速度：,对所有质点求和：,0,质心运动定理,2,设
2、mi 受外力 ，内力 ，则：,即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中 于该点，所受的力是质点系受的所有外力。,注：质心上可能既无质量，又未受力。,3,质心运动定理,例：,3.刚体的转动,转动：刚体内各点都绕同一直线作圆周运动,1）定轴转动,转轴上各点都保持静止状态；,转轴外质点都在垂直于轴的平面 作圆周运动；,各点在相同的时间内转过的角度相等。,2)描述刚体转动的物理量,设某刚体绕定轴oo转动,1 角坐标, ,单位：rad(弧度), 刚体运动方程,2 角位移,或：,转轴,定轴,4,基 本 特 征,逆时针为 正方向,3角速度,方向：与角位移成右手螺旋关系,4角加速度,5角量与线量之间的关系,
3、d,dS,位移：,速度：,加速度：,5,二、刚体的定轴转动定律,1.力矩,定义：,1） 在垂直oo 的平面内,2） 不在垂直oo 的平面内,对刚体绕oo轴转动无贡献,总可分解成两个分量：,6,计算 时，,只需考虑 的力矩,2.定轴转动定律,设某刚体绕固定轴Z轴转动,Z,mi,取质量元mi，其到转轴的距离 为ri。,受力如图示，,根据牛顿定律：,各质元加速度不同，,但角加速度相同:,用 ri乘以上式：,将所有质元相加：,0,即：,定轴转动定律,7,J,fi,fj,ro,？,刚体对定轴（z 轴）的转动惯量,J由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决定， 与外力无关，是表征刚体转动惯性的特征量。,与牛顿
4、定律比较：,J,m,m反映质点的平动惯性； J反映刚体的转动惯性。,8,定轴转动定律,其中,例1.在半径为R，质量为m，J = mR2的圆轮上挂一细绳 细绳两端各挂两物 m1m2。求两物的 a及轮子的 ？,解：,m1、m2可作为质点处理，,轮子作刚体处理。,各物受力情况如图：,T1,T2,=,根据牛顿定律：,根据定轴转动定律：,联立,?,9,动画,T1,y,T2,解得：,3. 转动惯量的计算,1)构成刚体的质量元是分立的,2)刚体的质量是连续分布的,与转动惯量有关的因素：,刚体的质量,转轴的位置,在（SI）中，J 的单位：kgm2,质量元dm 的计算方法如下：,质量为线分布：,质量为面分布：,
5、质量为体分布：,线密度,面 密度,体密度,10,例2. 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直，并通过圆心。,解：,若是半径为R 的薄圆筒 （不计厚度）结果如何？,在圆环上取质量元dm,结论同上,11,例3.求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,取半径为r宽为dr 的薄圆环,其质量为：,结论：转动惯量与l无关。实心圆柱 对其中心轴的转动惯量是 。,12,解：,r,例4.求长为L、质量为m的均匀细棒 对图中不同轴的转动惯量。,o,解：取如图坐标,dm=dx,绕过质心的转轴的J：,结论:同一物体绕不同的转轴, 其转动惯量不同。,X,
6、X,o,13,x,L,x,3）平行轴定理,JC是通过质心的轴的转动惯量; JA是通过棒端的轴的转动惯量; 两轴平行，相距L/2。,推广上述结论：,平行轴定理,若有任一轴A与过质心C的轴平行，相距为d， 刚体对其转动惯量为JA，则有：,14,右图所示，刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴在竖直 面内转动的转动惯量如何计 算？(棒长为L、圆半径为R）,细棒的转动惯量：,圆盘对过质心转轴的转动惯量：,圆盘相对棒端转轴的转动惯量：,15,所求系统的转动惯量：,几种常见刚体的转动惯量：,细棒,薄圆环 或薄圆筒,圆盘或 圆柱体,薄球壳,球体,15,4.刚体定轴转动定律的应用,例5.一根长为L、质量为m的均匀细直
7、棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角 加速度和角速度。,解：重力对o点有力矩， 棒下摆为加速过程；,m,m,重力对整个棒的合力矩与全部重力 集中作用在质心所产生的力矩一样。,合力矩：,16,处在角时，棒上质元 dm的重力矩为：,棒处在角时，质心位置：,由：,即：,17,求角速度？,例6.质量为m、长为L的匀质细杆水平放置，一端为 铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时，杆的 角加速度以及铰链的支撑力。,分析：,解：,剪断时,= mg,?,?,剪断时细杆绕o点的力矩为,o,由定轴转动定律:,质心平动：,问：若杆从上方转下来到水平位
8、置时,18,o,水平位置时力矩仍为：,此时质心的加速度为：,此时,19,？,.,o,例7.一个飞轮m=69kg，半径R=0.25m, 正在以每分1000转的转速转动。 现在要制动飞轮，要求在5.0秒内 使它均匀减速而最后停下来。闸 瓦与轮子间的摩擦系数 =0.46。 求闸瓦对轮子的压力N 为多大？,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,N,fr,三、转动中的功和能,1.刚体的转动动能,刚体上质元mi的动能为：,所有质元的动能之和为：,转动动能,注,1 转动动能 是刚体上所有质点的平动 动能之和，不是什么新能量，只是表示刚体 转动能的一个简单方法。,J,mi,mj,m1
9、,ri,F,r,力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算:,M,作的总功为:,2.力矩的功,O,t,j,P,力矩的功,R,r,O,例8.已知半径为R、质量为m的匀质圆盘放置在一粗糙 的水平面上，并绕垂直于平面且过质心的轴转动, 圆盘与水平面间的摩擦系数为 。 求圆盘转一周，摩擦阻力矩的功。,取环带面积元,环带受摩擦力:,环带受摩擦力矩:,解:,总摩擦力矩:,m,m,g,R,0,0,R,摩擦力矩作功:,力矩的功,力矩做功的效果:,即: A,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。,定轴转动的动能定理,结论,外力矩作功,系统转动动能增量,得:,解:,又:,则:,3.刚体的重力势能,y,x,O,m,C,一个质元的势能：,整个刚体的势能：,刚体的重力势能 ,4.机械能守恒,它的全部质量都集中在质心时所具有的势能,例5.一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角 加速度和角速度。,解：棒下摆过程中，只有 重力矩作功，所以机械能守恒：,作业： 3章T1-T4,
