《浙教版八年级三角形中几种模型（最新编写-修订版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙教版八年级三角形中几种模型（最新编写-修订版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、手拉手模型：一、手拉手模型： 1 手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2 手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。 （左手拉左手，右手拉右手） 3 手拉手基本结论 ABCABC(SAS) BAB=BOB AO 平分BOC 二、例题 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 和BCE，连接 AE 与 CD，证明： （1）ABEDBC （2）AE=DC （3）AE 与 DC 的夹角为 60。 （4）AGBDFB （5）EGBCFB （6）BH 平分AHC （7）GFAC H F G E D A B C 变式练习 1
2、、如果两个等边三角形ABD 和BCE，连接 AE 与 CD，证明： （1）ABEDBC （2）AE=DC （3）AE 与 DC 的夹角为 60。 （4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分AHC 变式练习 2：如果两个等边三角形ABD 和BCE，连接 AE 与 CD，证明： （1）ABEDBC （2）AE=DC （3）AE 与 DC 的夹角为 60。 （4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分AHC 变式训练 3：两个等腰三角形 ABD 与 BCE，其中 AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=a 连接 AE 与 CD. 问（1）ABEDBC 是否成立？ （2）AE 是否与 CD
3、相等？ （3）AE 与 CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC？ E B D A C H E B D A C H D A B C E 例 2：如图，两个正方形 ABCD 和 DEFG，连接 AG 与 CE，二者相交于 H 问：（1）ADGCDE 是否成立？ （2）AG 是否与 CE 相等？ （3）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE？ 例 3：如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG，连接 AG,CE,二者相交于 H. 问 （1）ADGCDE 是否成立？ （2）AG 是否与 CE 相等？ （3）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否
4、平分AHE？ 二、半角模型二、半角模型 1、条件： .180 2 1 0 且 2、思路：截长补短 旋转 例 1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN， 求证：.MAN= 45 . ABC CMN 2 .AM、AN分别平分BMN和DNM. H E F AD B C G H G A D C E 例 2 拓展：在正方形 ABCD 中，已知MAN= 45 ，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动， .试探究线段 MN、BM 、DN 之间的数量关系. .求证：AB=AH. 例 3.在四边形 ABCD 中，B+D= 180 ，AB=AD，若 E、F 分别
5、在边 BC、CD 上，且满足 EF=BE +DF. 求证： . 2 1 BADEAF 练习巩固 1：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45，试判断 BE、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：； （2）如图 2，若把(1)问中的条件变为“在四边形 ABCD 中，ABAD，BD180，E、F 分别是边 BC、CD 上 的点，且EAF=BAD” ，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 2 1 （3）在（2）问中，若将AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、F 运动到 BC、CD 延长线上
6、时， 如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明. 练习巩固 2： 已知 ： 正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC（或它们的延长ABCD45MAN A 线）于点M、N （1） 如图 1， 当绕点旋转到时， 有 当 绕点旋转到MANABMDNBMDNMNMANA 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；BMDN （2）当绕点旋转到如图 3 的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，MANABMDN，MN 并证明 N M D C B A N M C D B A N M D
7、 C B A 练习巩固 3：在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，ABCABACMND， ，ABC60MDN ，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及120BDCBDCDMN，AB AC，BMBN MN， 的周长与等边的周长的关系AMNQABCL M N D CB A M N D C B A N M D C B A （1） 如图， 当点在边上， 且时，之间的数量关系式_； 此时MN，AB AC，DMDNBMNC MN， Q L _ （2）如图，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加MN，AB AC，DMDN 以证明； （3）如图，当点分别在边的延长
8、线上时，若，则_(用表示)MN，AB CA，ANxQ x L， 练习巩固 4：如图，已知在正方形 ABCD 中，=45，连接 BD 与 AM，AN 分别交于 E、F 两点。M AN 求证：（1）MN=MB+DN； （2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长； （3）的周长等于正方形 ABCD 边长的 2 倍；C M N （4）； ABC D C M N S2AB SM N （5）若=20，求；M ABAM N （6）若，求； M AB045AM N （7）； 222 EFEBD F （8）与是等腰三角形；AENAFM （9）。 AEF AM N S1 S2 三、三垂直模型（一线三等角） （
9、K 型）三、三垂直模型（一线三等角） （K 型） 1、常见的一线三垂直的模型。 例 1：如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AEBF，垂足为点 G 求证：AE=BF 变式训练：等腰 RtABC中，AC=AB，BAC90，点D是AC的中点，AFBD于点E，交BC于点F，连接DF，求 证：1=2。 例 2：.如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 AB 重合)，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90得到线段 PE， PE 交边 BC 于点 F连接 BE、DF。 求证：ADP=EPB； 求CBE 的度数； 例 3：等腰直角ABC
10、，其中 AB=AC，BAC=90，过 B、C 作经过 A 点直线 L 的垂线，垂足分别为 M、N （1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明 （2）BM，CN，MN 之间有何关系？若将直线 l 旋转到如图 2 的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？ N M O A B P 2 4 3 2 1 A C P B D A B C 1 A B D C P A B D C P O N M B A 2 D P A BCD C 1 P B A 四、角平分线模型 1、边垂直 如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B。 结论：PB=PA 例 1：（1）如
11、图，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离 是 ； （2）如图，1=2，+3=4。 求证：AP 平分BAC。 例 2：如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 的平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP= 。 例 3：如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。 2、翻折全等（对称） 如图，P 是MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。 结论：OPBOPA。 例 1：（1）如图所示，在ABC 中，
12、AD 是ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图所示， AD 是ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。 A BC D E D CB A A B C D P O N M B A ED CB A 例 2：已知，在ABC 中，A=2B，CD 是ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段 BC 的长。 例 3： 如图所示，在ABC 中，A=100，A=40，BD 是ABC 的平分线，延长 BD 至 E，DE=AD。求证 ： BC=AB+CE。 例 4：已
13、知，在ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分ABC。 求证：BC=AB+CD。 3、角平分线+垂线等腰（三线合一） 如图，P 是MO 的平分线上一点，APOP 于 P 点，延长 AP 于点 B。 结论：AOB 是等腰三角形。 例 1：如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC， CEBD，垂足为 E。求证：BD=2CE。 2 1 E D C B A Q P O N M A E B C N M DA E B C 例 2：如图，在ABC 中，BE 是角平分线，ADBE，垂足为 D。 求证：2=1+C。 例 3：（1）如图，BD、CE 分别是ABC 的外角平
14、分，过点 A 作 ADBD、 AECE，垂足分别为 D、E，连接 DE。 求证：(1)AB+AC+BC=MN （2）如图，BD、CE 分别是ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ 成立请说明理由，若不成立， 那 MN 与ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。 （3）如图，BD 是ABC 的内角平分，CE 是ABC 的外角平分，其它条件不变。MN 与ABC 三边又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，并进行证明。 4、角平分线+平行线等腰（底角相等） 如图，P 是MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。 结论：POQ 是等腰三角形。 例 1：如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交 于点 E，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 。 3 例 2：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 CD 上，且 AE 平分BAD，BE 平分ABC。求证：AD=AB-BC。
