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1、大学物理习题课 热学部分,2010.11.29,1,统计物理学,2,理想气体状态方程 理想气体压强公式 理想气体内能 麦克斯韦速率分布 分子碰撞统计规律（平均自由程和碰撞频率）,基本规律 1.理想气体状态方程,2.理想气体压强公式,4,3.温度与分子平均平动动能的关系,5.理想气体内能公式,4.能量按自由度均分定理 平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能都等于 。若气体分子具有i个自由度，则分子的能量为,5,6.麦克斯韦速率分布律 数学表达式,物理意义：速率在 区间气体分子数 占总分 子数 的百分比，或者说一个分子的速率处 于 区间的概率。,速率分布函数,物理意义：处在速率 附近单位速率区
2、间内气体分子数占 总分子数的百分比。概率密度,6,三种特征速率,最概然速率： 平均速率： 方均根速率：,7,7.玻尔兹曼能量分布律,表示气体处于平衡态时，在一定温度下，在速度分 布区间 、 、 和坐 标区间 、 、 内的分子数； 是分子的平动动能； 是分子在力场中的势能,体积元dxdydz内的总分子数,n为空间粒子数密度,n0为 Ep =0 处的粒子数密度,8,重力场中粒子按高度的分布,- 恒温气压公式,8. 平均碰撞频率,平均自由程,9,五种类型问题 (1) 利用理想气体方程、压强公式、内能公式，计算相关物理量 (2) 麦克斯韦速率分布率相关问题 (3) 利用三种特征速率公式的一些计算 (4
3、) 平均自由程相关问题 (5) 玻尔兹曼能量分布律的应用,10,例1. 体积和压强都相同的氦气和氢气（均视为刚性分子理想 气体），在某一温度T下混合，所有氢气分子所具有的热运 动动能在系统总热运动动能中所占的百分比是多少？,氢气为双原子分子，自由度为5，,一个分子平均动能：,所有氢气分子总动能为,氦气为单原子分子，自由度为3，,一个分子平均动能：,所有氦气分子总动能为：,氢气分子动能的百分比为,知道氢气和氦气分子的摩尔比就可确定氢气分子动能百分比。,根据条件，两种气体P和V都相同，在同一温度T下混合。,理想气体压强公式：,氢气,氦气,T相同，P相同，因此n1=n2, 即分子数密度相同。V也相同
4、。,摩尔量为:,例2. 容积为10L的盒子以速率V=200m/s匀速运动，容器中 充有质量为50g，温度为18oC的氢气，设盒子突然停止， 气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能， 容器与外界没有能量交换，则达到平衡后氢气的温度和 压强增加多少？（氢气分子视为刚性分子）,动能全部转化为内能，内能只与温度有关，内能增加即 温度增加，等体变化中，温度增加引起压强增加。,定向运动动能,这些能量全部转化为内能，氢气分子内能增加量为,1mol氢气分子内能与温度关系：,50g氢气总的内能为,内能增加量和温度增加量之间存在关系,理想气体压强方程P=nkT,气体总量不变，容器体积不变，因此分子数密度
5、n没有变化， 压强增加量和温度增加量存在关系,例3. 用绝热材料制成的一个容器，体积为2V0，被绝热板隔成 A、B两部分，A内储存有1 mol单原子分子理想气体，B没储 存有2mol刚性双原子分子理想气体，A、B两部分压强相等， 均为P0，两部分体积均为V0，则 （1） 两种气体各自的内能分别为多少？ （2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？,1 mol理想气体内能为,A中为单原子理想气体，自由度为3， 因此内能为,根据理想气体状态方程：,A中气体的内能为：,（1） 两种气体各自的内能分别为多少？,B中为双原子刚性理想气体，自由度为5， 因此内能为,根据理想气体状态方程：,带入
6、上式得出,（2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？,混合后两种气体温度相同，温度与内能有关。因此应 从内能入手。容器绝热，外界没有对气体做功，也没 有热传递。系统内能量守恒。两种气体间存在能量转移， 但是总内能不变。设混合后温度为T，则混合后,A气体内能,B气体内能,混合前总内能为：,混合后总内能为：,混合前后内能相同：,例4. 容器内盛有密度为r的单原子理想气体，其压强为p， 此气体分子的方均根速率为多少？单位体积内气体的内 能为多少？,方均根速率肯定和内能有关，理想气体分子平均内能,理想气体压强公式 P=nkT,怎样将密度r和压强P联系起来？,由上式可知,（1）,代入理想气
7、体压强公式：,n为分子数密度，即单位体积内分子个数。m为一个分子 质量。nm即为单位体积内气体分子的质量，也就是密度r。,因此，方均根速率为,（2）单位体积内气体的内能为多少？,一个分子平均内能为,单位体积内有n个分子，内能为,例5 ：已知某气体在温度T时的速率分布函数为 ，说明下列各表达式的意义,(1) 表示某气体分子的速率在 间隔内的 概率。或者说，速率在 间隔内的分子数占总 分子数的百分比。,(2) 表示在 间隔的分子数,(3) 表示某气体分子的速率在 间隔内的 概率。或者说，速率在 间隔内的分子数占总分 子数的百分比。,(4) 表示在 间隔内的分子数。,26,例6 N个质量 m 的同种
8、气体分子，其速率分布如图所示。 (1)问图中横坐标、纵坐标及折线与横坐标所包围的面积的含义是什么？ (2)已知N、v ，求a (3)求速率在 v0/2 到3v0/2 之间的分子数 (4)求分子的平均速率和平均平动动能,解:(1)横坐标表示气体分子速率。纵坐标表示在速率v附近单位速率区间内分子数；而Nf(v)dv 表示分布在速率v-v+dv区间的分子数，对应于折线与横坐标所包围的面积。,27,(2)由图可得分布函数为,由归一化条件 ，得,所以,28,(3)所以速率在 的分子数为,29,(5)求分子的平均速率和平均平动动能,由于,所以,30,平均平动动能,例7. 设有N个粒子，其速率分布函数为：,
9、（1）画速率分布曲线；（2）由N和v0求常量a； （3）求粒子的最概然速率；（4）求N个粒子的平均速率； （5）求速率介于区间（0v0/2）的粒子数； （6）求（v0/2 v0）区间内分子的平均速率。,例8 一绝热容器，体积为2Vo，由绝热板将其分隔成相等的两部分A和B，如图所示。设A内贮有1mol 的He分子的气体，B内贮有2mol 的H2分子的气体，A、B两部分的压强均为PO。如果把两种气体都看作理想气体。现在抽去绝热板，求两种气体混合后达到平衡状态时的温度和压强。,解：混合前，两种气体的内能为：,因此两种气体的总内能为：,33,设混合气体的温度为T，其内能为：,因为混合前后内能不变，所以
10、,所以,由理想气体状态方程可以得到压强为：,34,例9：由麦克斯韦速率分布律 出发，求： (1)平动动能 介于 之间的分子数占总分子数的比率； (2)平动动能的最概然值,解:(1)根据麦克斯韦速率分布律，速率介于 之间的分子数占总分子数的比率为,由于 ， ，即,35,将 ， 代入(1)式，得平动动能介于 之间的分子数占总分子数的比率,(2) 由 式对 求极值，可得平动动能的最概然值,即,36,热力学,热力学,基本概念,1. 热力学系统（开放、封闭、孤立系统）,2. 热力学过程 （准静态、非准静态过程）,3.功,2)气体膨胀时， ，表示系统对外界作功，,气体压缩时， ，表示外界对系统作功，,3)
11、功的几何意义：在 图上，准静态过程由一条曲线表示，曲线下面的面积表示该过程中系统所作的功。,1) 对于平衡过程,38,5. 摩尔热容：1mol物质温度升高1k时所吸收的热量。,6. 摩尔等体热容,7. 摩尔等压热容,8. 内能：状态量，只与温度有关,热容是过程量，同一物质不同过程中其热容是不同的,对于理想气体,对于理想气体,迈耶公式,4.热量,39,基本规律,1. 热力学第零定律：如果两 个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此处于热平衡 。,2. 热力学第一定律：第一类永动机不能实现,3.热力学第二定律：第二类永动机不能实现,1)开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量使
12、之完 全变为有用功，而不引起其它任何变化,2)克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体,40,热一律的应用，几个重要的热力学过程,等体,等压,等温,绝热,特点,V=C,P=C,T=C,Q=0,过程 方程,Q,W,0,0,0,三种类型问题：,(1) 当理想气体状态发生变化时，求解各有关的物理量,(2) 有关循环过程和循环效率,(3) 熵变计算,功、热量、内能 的计算,42,功、热量、内能 的计算,（1）直接计算,计算公式,适用对象,适用条件,任何系统,任何系统,理想气体,准静态过程,始末态为平衡态， Cm = const.,始末态为平衡态， CV,m = const.,43,（2）用热
13、力学第一定律计算,Q = E + W,适用于任何系统和任何过程,44,（3）用 p V 图分析,1）过程曲线与V 轴所围的面积 = W,2）理想气体等温线上 E = 0,3）绝热线上 Q = 0,两条重要的 参考线,45,卡诺定理：工作于相同的高温热源和相同的低温热源之间的一切可逆热机，其效率都相同，与工作物质无关。工作于两热源间的一切不可逆热机的效率都不可能大于可逆热机的效率。,循环过程和循环效率,热机：,46,熵 的计算,只适用于可逆过程,R,熵增加原理：孤立系统中，所自发发生的一切过 程，总是朝着熵增加或不变的方向进行。,对不可逆过程的熵变，,可以在初末态之间设计一个可逆过程，利用熵为态
14、函数，,与过程无关,通过计算可逆过程熵变得到不可逆过程熵变.,47,例1. 已知一定量的理想气体经历P-T图上所示的循环过程， 试分析图中个过程的吸热、放热情况。,12过程中，T增加，内能增加，V增加，对外做功，A0 因此Q0,吸热。,23为等温过程，根据PV=vRT可知 P增加，V减小。热一律,13为等压过程，根据PV=vRT,T减小，V减小。,T减小内能减小，A0,Q0,放热。,例2.如图曲线中，AB、CD两条曲线代表两个绝热过程， DEA是等温过程，BEC是任意过程，它们组成一个循环。 若图中ECDE所包围的面积为80J，EABE所包围的面积为 40J，DEA过程中系统放热120J； 则
15、整个过程对外做功多少？过程中系统吸收 的热量为多少？,PV图中，做功为曲线下的面积。热循环中，所做净功为 曲线所包围的面积。正循环做正功，逆循环做负功。此处 曲线包围了两部分的面积，可以分为两部分循环。这两个 循环做功分别为70J和-30J，总共为40J. 根据热一律，,一个循环中内能不变，A=40J，Q=40J,DEA放热120，而AB、CD为绝热过程，吸热为0 因此BEC过程吸热 Q=QBEC+QDEA 即40=QBEC-120 QBEC=160J,V,P,1,2,试问2 1过程是吸热还是放热？,用热一律 Q=E+W， 1 2 与绝热线 1-2比较，,内能变化相同， 比绝热过程的功 W更多
16、， 所以Q0，是吸热。,吸热,吸热,内能变化相同，比绝热过程的功 W外更少， 所以Q0，也是吸热。,仍用热一律Q=E-W外 ，与绝热线 2-1比较：,【答】,【答】,始末态相同，,52,即1 2 过程和2 1 过程是否全部吸热？,作辅助线 ab-绝热, b2-等容,2b段等容,放热,原因：上述1 2 过程“吸热”是指净结果。 整个过程中有某段过程放热。,同理可证， 2 1 过程也不是全部吸热。,【答】,（或从循环a2ba看）,吸热,ba段绝热,Q=0,a2段放热,即1 2 过程不是否全部吸热。,53,例4：一定量的理想气体，经历如图所示的循环过程，其中 和 是等压过程， 和 是绝热过程。已知 点温度 ，C点温度 。 (1)求此热机效率 (2)这个循环是卡 诺循环么？,54,解: (1)设等压膨胀过程 吸热 ，则,等压压
