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1、数学必修四答案详解第二章 平面向量21平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略. 2、，. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、，.4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.习题2.1 A组（P77）1、 （2）.3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：.4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：5、. 6、（1）； （2）； （3）； （4）.习题2.1 B组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对，与反向的也有6对；与同向的共有3对，与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为
2、2的向量有2对22平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略. 2、图略. 3、（1）； （2）.4、（1）； （2）； （3）； （4）.练习（P87）1、图略. 2、，. 3、图略.练习（P90）1、图略.2、，. 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向.3、（1）； （2）； （3）； （4）.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）； （2）； （3）. 6、图略.习题2.2 A组（P91）1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走km； （4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km.2、飞机飞行的路程为700
3、 km；两次位移的合成是向北偏西53方向飞行500 km.3、解：如右图所示：表示船速，表示河水的流速，以、为邻边作，则表示船实际航行的速度. 在RtABC中，所以因为，由计算器得所以，实际航行的速度是，船航行的方向与河岸的夹角约为76.4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当时，9、（1）； （2）； （3）； （4）.（第11题）10、，.11、如图所示，.（
4、第12题）12、，.13、证明：在中，分别是的中点，（第13题）所以且，即；同理，所以.习题2.2 B组（P92）（第1题）1、丙地在甲地的北偏东45方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在不共线时它们不相等. 3、证明：因为，而， 所以.4、（1）四边形为平行四边形，证略（第4题(2)） （2）四边形为梯形. 证明：，且四边形为梯形. （3）四边形为菱形.（第4题(3)） 证明：，且四边形为平行四边形又（第5题）四边形为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形为平行四边形. 证明：因为， 而所以所以，即.因此，四边形为平行四边形.23平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）
5、1、（1），； （2），； （3），； （4），.2、，.3、（1），； （2），； （3），； （4），4、. 证明：，所以.所以.5、（1）； （2）； （3）. 6、或7、解：设，由点在线段的延长线上，且，得 ， ，所以点的坐标为.习题2.3 A组（P101）1、（1）； （2）； （3）. 说明：解题时可设，利用向量坐标的定义解题.2、3、解法一：， 而，. 所以点的坐标为. 解法二：设，则， 由可得，解得点的坐标为.4、解：，. ，. ，所以，点的坐标为； ，所以，点的坐标为； ，所以，点的坐标为.5、由向量共线得，所以，解得.6、，所以与共线.7、，所以点的坐标为； ，所以点的坐标
6、为； 故 习题2.3 B组（P101）1、，. 当时，所以； 当时，所以； 当时，所以； 当时，所以.2、（1）因为，所以，所以、三点共线； （2）因为，所以，所以、三点共线； （3）因为，所以，所以、三点共线.3、证明：假设，则由，得.所以是共线向量，与已知是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，. 同理. 综上.4、（1）. （2）对于任意向量，都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.24平面向量的数量积 练习（P106）1、.2、当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形.3、投影分别为，0，. 图略练习（P107）1、，.2、，.3、，.习题2.4 A组（P108）1、，.2、与的夹角
7、为120，.3、，.4、证法一：设与的夹角为.（1）当时，等式显然成立；（2）当时，与，与的夹角都为，所以 所以 ； （3）当时，与，与的夹角都为，则 所以 ； 综上所述，等式成立. 证法二：设， 那么 所以 ； 5、（1）直角三角形，为直角. 证明：，为直角，为直角三角形 （2）直角三角形，为直角 证明：，为直角，为直角三角形 （3）直角三角形，为直角 证明：，为直角，为直角三角形6、.7、. ，于是可得，所以.8、，.9、证明：，为顶点的四边形是矩形.10、解：设，则，解得，或.于是或.11、解：设与垂直的单位向量，则，解得或.于是或.习题2.4 B组（P108）1、证法一： 证法二：设，
8、.先证，由得，即而，所以再证由得 ，即，因此2、.3、证明：构造向量，. ，所以（第4题）4、的值只与弦的长有关，与圆的半径无关.证明：取的中点，连接，则，又，而所以5、（1）勾股定理：中，则证明：.由，有，于是 （2）菱形中，求证：证明：，.四边形为菱形，所以，所以 （3）长方形中，求证：证明： 四边形为长方形，所以，所以.，所以，所以 （4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.25平面向量应用举例 习题2.5 A组（P113）1、解：设， 则， 由得，即（第2题） 代入直线的方程得. 所以，点的轨迹方程为.2、解：（1）易知，,所以.（2）因为所以，因此三点共线，而且
9、（第4题）同理可知：，所以3、解：（1）； （2）在方向上的投影为.4、解：设，的合力为，与的夹角为，则，； ，与的夹角为150.习题2.5 B组（P113）1、解：设在水平方向的速度大小为，竖直方向的速度的大小为，则，.设在时刻时的上升高度为，抛掷距离为，则所以，最大高度为，最大投掷距离为.2、解：设与的夹角为，合速度为，与的夹角为，行驶距离为.则，. .所以当，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1） 解：设，则. .将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，于是所以，解得 （2） 解：设曲线上任一点的坐标为，绕逆时针旋转后，点的坐标为则，即又因为，所以，化简得第二章 复习参
10、考题A组（P118）1、（1）； （2）； （3）； （4）.2、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.（第4题）3、，4、略解：，5、（1），； （2），； （3）.6、与共线. 证明：因为，所以. 所以与共线.7、. 8、. 9、.10、11、证明：，所以.12、. 13、，. 14、第二章 复习参考题B组（P119）1、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.2、证明：先证. ，. 因为，所以，于是. 再证. 由于， 由可得，于是（第3题） 所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证 又，所以，所以 再证. 由得，即 所以 【
11、几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】（第5题）4、， 而，所以5、证明：如图所示，由于，所以，所以所以，同理可得所以，同理可得，所以为正三角形.（第6题）6、连接. 由对称性可知，是的中位线，.7、（1）实际前进速度大小为（千米时），沿与水流方向成60的方向前进； （2）实际前进速度大小为千米时，沿与水流方向成的方向前进.8、解：因为，所以，所以 同理，所以点是的垂心.9、（1）； （2）垂直； （3）当时，；当时，夹角的余弦； （4）第三章 三角恒等变换31两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、. .2、解：由，得； 所以.3、解：由，是第二象限角，得； 所以.4、解：由，得；又由，得. 所以.练习（P131）1、（1）； （2）； （3）； （4）.2、解：由，得； 所以.3、解：由，是第三象限角，得； 所以.4、解：.5、（1）1； （2）； （3）1； （4）； （5）原式=； （6）原式=.6、（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式=.7、解：由已知得， 即， 所以. 又是第三象限角， 于是. 因此.练习（P135）1、解：因为，所以 又由，得，
