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1、第六章 对流换热基本方程,第六章 对流换热基本方程,6-1 质量守恒与连续性方程,如果研究对象取控制体，则有 (6-1-1) 假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体为xy，点(x，y)处的速度为u和v，控制体内的质量为xy。方程(6-1-1)应用于该控制体中，得到 (6-1-2),6-1 质量守恒与连续性方程,通过消去控制体体积xy，得到 (6-1-3) 对于三维流动，类似地可以得到 (6-1-4) 这就是流体的连续性方程，用矢量形式表示，则为 (6-1-5) 式中div表示散度，即 (6-1-6),局部的质量守恒表达式也可以写为 (6-1-7) 即 其中 为全导数，即 (6-1-8) 为当
2、地变化率。V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变为,6-1 质量守恒与连续性方程,(6-1-9) 也可以用张量形式写出连续性方程，即 (6-1-10) 其中i1，2，3。 对于不可压流体，密度为常量， 0，则连续性方程为 (6-1-11),6-1 质量守恒与连续性方程,将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。 考虑作用于控制体上的力平衡，有 (6-2-1) 式中，n表示所讨论的方向。 有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。 图6-2给出了二维有限控制体的
3、动量变化和作用力分析，将式(6-2-1)应用于x方向，得到 (6-2-2),6-2 动量方程,6-2 动量方程,图6-2 二维控制体在x方向上的力平衡,等式两边同除以，得到 (6-2-3) 考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有 (6-2-4) 式(6-2-4)中的法向应力 和切向应力 由下式给出： (6-2-5) (6-2-6),6-2 动量方程,将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克斯方程： (6-2-7) 如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为 (6-2-8) 下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维-斯托克斯(N-S)方程：
4、(6-2-9) (6-2-10),6-2 动量方程,为简洁，可以表示为向量形式： (6-2-12) 由热力学知 (6-2-13) 一般 ， 不为零，但dP、dT较小时可以认为d0, =常数。,6-2 动量方程,6 -3 能量方程,6 -3 能量方程,图6-3 控制体能量平衡,6-3 -1 热对流携的净能量 单位质量流体的总能量e 由热力学能与宏观动能组成，称为总能： (6-3-2) x 方向流体携入控制体的净能量为uedydz与 之差，即 类似地可以得到y 、z方向流体净携入的能量为 和 因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或,6 -3 能量方程,6 -3 -2 通过导热在界面
5、导的净能 x方向净导能量为 与 之差，即 由傅里叶定律,6 -3 能量方程,6 -3 能量方程,因而x方向净导的能量可写为： 类似的，y、z方向的净导的能量为： 和,6 -3 能量方程,6-3-3 控制体内总能t 随时间的变化率 控制体内总能量随时间的变化率为 能量守恒方程 (6-3-5) dW 将在后面详细讨论。引入连续性方程，上式整理为 (6-3-6) 也可以将总能量分为热力学能和动能即 (6-3-7),6 -3 能量方程,6-3-4 界面上作用力对流体作的功 作用力由表面力(粘性力和静压力)和体积力组成。x方向的净功为 类似地，y、z方向作用力的净功为 三项之和为总功dW。,6 -3 能
6、量方程,dW 减去x、y 和z方向的动量方程分别乘以u、v、w和dxdydz 的积，可以得到 (6-3-8) 定义上式等号右边方括号内各项为，则方程简化为 (6-3-9),6 -3 能量方程,即，体积力和表面力所作的功等于流体动能的变化、体积变形时压力作的功和耗散之和。整理可得 (6-3-10) 称为能量耗散函数它是单位时间作用在控制体上的(法向和切向)粘性力由于摩擦而作的功转变为热能的部分，可以表示 (6-3-11) 对于不可压缩流体，divV = 0 ，有关项可以略去。低速流动时，耗散项很小，可以不计。能量方程也可以通过焓的形式变换，得到温度形式的能量方程。热力学定义焓为 (6-3-12)
7、,6 -3 能量方程,(6-3-13) 焓是热力学状态函数，可以写为h = h( T , p )。则 (6-3-14) 由热力学微分关系式，得 (6-3-15) 定义体胀系数 ，得到,6 -3 能量方程,(6-3-16) 将式(6-3-13 )、(6-3 -16 )代入式(6 -3 -10 ) ，经整理得到能量方程 (6-3-17) 对于理想气体， ，上式简化为,6 -3 能量方程,对于不可压缩流体，v = 0，若忽略耗散函数，式(6-3-17 )变为： 其向量形式为 (6-3-20) 热物性是常数时，可以写为 (6-3-2 1),6-4 熵方程,与连续性方程的推导类似，可以得到控制体的熵方程
8、 (6-4-1) 式中：s 是比墒；divs是单位时间控制体内的熵流； 是熵产。 对于可逆过程，由热力学知 (6-4-2),6-4 熵方程,实际热力过程都是不平衡过程，但分析是基于局部热力学平衡假设，式(6-4-2 )仍然适用。将式(6-3-10 )代上式，得到 (6-4-3 ) 因为 得到 ( 6-4-4 ),6-5 方程的封闭与求解方法,6-5 方程的封闭与求解方法,6-6 数量级分析,以一维非稳态导热为例说明数量级分析。假设厚度为2的平板，温度为t0，放入温度为t的流体中，若流体与固体的换热很好，固体表而温度立刻达到流体温度t，试估计平板中心感受到外部影响所需的时间。,6-6 数量级分析
9、,考虑平板的对称性，只需研究平板的一半，即厚度为。能量方程如下： (6-6-l) 估计各项的数量级大小。左侧 (6-6-2) 右侧 (6-6-3),6-6 数量级分析,考虑式(6-6-2)与式(6-6-3 )相等，得到 (6-6-4) 式中， ，是热扩散率。 可见，通过数量级分析可以十分简单地获得渗透时间的数量级，与傅里叶分析相比，两者吻合得很好，但计算量则少得多。数量级分析的突出特点，是在众多的影响因索中可以给出主导过程特性的物理量，这一点将在以后的分析中更清楚地表明。数量级分析法则如下： ( 1 ) 通常要确定数量级分析的区域空间，例如前面讨论的非稳态导热的，或边界层流动的。 ( 2 )
10、任何方程中至少有两个数量级相等的主要控制项。,6-6 数量级分析,( 3 ) 如果两项之和 c = a+b (6-6-5) 中一项远大于另一项，即 O(a) O(b) (6-6-6) 则和的数量级大小由主要项决定： O(c) O(a) (6-6-7) C = a-b或c = -a+b 的情况类似。 ( 4 ) 如果两项之和 C = a+b (6-6-8) 中a 、b 具有同样的数量级，即 O(a) O(b) (6-6-9) 则和的数量级与各项相同： O(c) O(a) O(b) (6-6-10),6-6 数量级分析,(5) 对于乘积 P = ab (6-6-11) 有 O(p) = O(a)O(b) (6-6-12) 若 (6-6-13) 有 (6-6-14),
