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1、力学量算符之间的对易关系,讨论微观态 中某一力学量 时，总是以 的本征值谱作 为力学量 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理:,1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 与 之和 定义为 为任意函数 一般 ，例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 与势能算符 之和 （2）算符之积：算符 与 之积定义为,（1）,（2）,算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒 个相同算符 的积定义为算符 的 次幂 例如 则 为了运算上的方便，引入量
2、子括号,（3）,（5）,若 称算符 与 是不对易的（不能交换位置） 即 若 称算符 与 是对易的 即 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明,（6）,（7）,1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易 动量算符是微分算符 因为 则 坐标算符与动量算符：设 为任意函数,（12）,（13）,比较后可得 但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 其中 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。,（14a）,（14b）,(14c),1.3 角动量算符的对易关系 只证明其中一个，请注意证明方法 记忆方法：从左至右以 依次循
3、环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。,(15),以相同的推导方法和记忆规律，有 另外有,（16）,（17）,（18）,1.4 几个重要的推论 (1) (2) （3）球坐标下 是 的函数，若有径向函数算符 则,（19）,（20）,（21）,（22）,2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 和 有一个共同的本征函数 ，则必有 及 ，即在 态中可以同时确定 这两个力学量的数值，那么 这似乎提醒我们有 ，但下结论过早，因为 这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ），如果 和 有 一组完备的共同本征函数，对于任意态函数,（23）,有 则 这时才说 和 是
4、对易的。这个结论可以推广到多个算 符，即 如果一组算符有共同的本征函数完备系 ，则这组算符对易 例如 即在 态中 同时有确定值 及 ，所以 是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以,（24）,2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 系的共同的本征函数。 这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符 和 相互对易，对于 的本征函数 ，有 可见 也是算符 的属于本征值 的本征函数。已经 假定 非简并，所以对应 的两个本征函数 和 最多 只能相差一个常数，所,（26）,（25）,（27）,可见， 同时也是 的属于本征值 的本征函数。同 理，对 的其它本征函数也有此结论。所以， 和 有组
5、成完备系的共同的本征函数。 例如，角动量算符 ，所以它们有组成完备系的 共同的本征函数 ，在 态中，力学量 同时有确定值 及 。 氢原子哈密顿算符 所以， 对易，它们有组成完备系的共同的本征函 数 ，在该台中三者同时有确定值：,（28）,2.3 力学量完全集 有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本 征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量 。如果 的共同的本征函数仍然 有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它 力学量 ， 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算
6、符， 如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。请大家将一 维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对照一 下。（注意：完全集中力学量的数目一般 体系的自由度）,例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及 。 解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成， 列表对应求解：,解法二 由 得 由 正交归一性得,例题二 在对某一状态进行测量时，同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？ 解：能。因为三个力学量对易， 故共同本征态为,例题三 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均 值 。 解：首
7、先应注意， 是 的共同本征函数，而 不对易，故 不是 的本征函数。 利用对易关系 ，则,同理 由于坐标 与 的对称性，可得 ，故 3 不确定关系 若算符 和 不对易时，常记为 是一个力学量算符或普通的数。首先定义,（29）,（30）,（31）,注意， 仍为厄米算符，若巧妙设计积分 利用 的厄米性，可推出 最后得出不确定关系,（32）,（33）,（34）,（35）,两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值, 或者说，它们不能有共同本征函数。 对不确定关系 应着重掌握其物理意义 例如 所以 可见，若动量确定， ；则 ，即位置 完全不 确定。试想，动量为 的自由粒子以波长 的状态 （平面波）
8、弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？,或,（36）,反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为 即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面 波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？ 总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子 具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的 不确定范围可参见教材。,（37）,例题4 一维运动的粒子处在 求 解：归一化后可得 利用 有,所以,所以,满足不确定关系,4 运动恒量（守恒量） 4.1 力学量平均值随时间的变化 波函数 描写的状态随时间的变化 满足 方程 而这个状态中力学量的平均值随时加的变化为,（38）,利用（38）
9、式及其共轭式，考虑到 的厄米性，可得 4.2运动恒量（守恒量） （39）式中，若算符 不显含时间，则 ，并且 有 ，则有,（39）,力学量平均值随时间的变化规律,（40）,平均值不随时间变化的力学量，称为运动恒量。或：满足 的不显含时间的力学量 为体系的运动恒量。 请回答：对哈密顿算符 ，下面哪些力学量 是运动恒量（守恒量）： 对于 （ 为常数）呢？,4.3守恒量的特点 守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下： （1）其平均值不随时间而变化； （2）其概率分布不随时间而变化。 证明特点（2）： 因为 ，故 具有共同本征函数系 ， 任意状态可表为 式中 即为守恒量 在 态中的概率，且概率分布函,（41）,（42）,所以 故有 其中 为 时力学量的概率分布函，所以 即守恒量 的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间 而变化。,（43）,（44）,（45）,4.4 宇称守恒 4.4.1 宇称算符 即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 它是厄米算符，它的本征值只有 ， 即 4.4.2 态函数的宇称,（46）,4.4.3 宇称守恒 若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则 即 ，亦即 是一个守恒量，或者说 描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。,
