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1、.例谈初中数学思想方法东莞市可园中学李永义【摘要】： 本文通过对具体的数学问题的分析来阐述了特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想、化归思想、几何变换思想以及方程与函数思想等数学思想方法在初中数学中的应用。【关键词】：初中数学；思想方法；特殊与一般；分类讨论；数形结合；整体思想；化归思想；几何变换思想；方程与函数思想数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锤炼升华的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是将数学知识转化为数学能力的桥梁，是数学的精髓，是数学科学和数学学科固有的灵魂，是数学素养的集中
2、体现，只有充分掌握领会数学思想才能有效提高应用数学知识的能力。初中数学思想主要包括特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、整体思想、几何变换思想、函数与方程思想等。1特殊与一般思想特殊与一般思想是指：对于在一般情况下难以求解的问题，可以运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解，包含从“特殊到一般”和“一般到特殊”两个相反方向的思路。例 1(2007 年青岛中考题改编 ). 如图 1，在四边形 ABCD 中， P 是 AD 边上任意一点， PBC 与 ABC 和 DBC 的面积之间有什么关系？解析：为了解决这个问题，我们可以
3、先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当 AP12AD 时（如图 2）：PDAAP 1AD ， ABP 和 ABD 的高相等，2SABP 1S ABD 2B图 1PDAD AP 1AD ， CDP 和 CDA 的高相等，P2SCDP 1SA CDA S2SSS四边形 ABCDPBCABP CDPS 四边形 ABCD 1SS ABD 1CDA22B图 2S 四边形 ABCD 1(S 四边形 ABCD S DBC) 1(S 四边形 ABCD SABC )P22A 1 S DBC 1 SABC 22（2）按照这种思路我们可以得到： DBC 2当 AP 1AD时（如图） PBC 1 ABC 33 SS
4、SB图 333当 AP 1AD （n 表示正整数）时， S PBC 1SDBC n 1SABC nnn当 AP m PBC m DBC nm ABC nAD （n 表示正整数）时， SSnSn本题从特殊情况入手，发现解题的思路技巧，并用此思路技巧解决更一般的问题，解决问题的途径。例 2（2010 年东莞市中考题）阅读下列材料：12123012),(13231 (234123),3341 (345234),3CDCDC将结论进行推广， 从而达到.由以上三个等式相加，可得122334134520 3读完以上材料，请你计算下各题：（1） 1 2 2 3 3 4L1011（写出过程）；（2） 1 2
5、2 334Ln( n 1)_ ；（3） 1 23234345L789_解析：由题目给出的12,23,3这几个具体式子的信息 ，4我们可以得到122334.n( n 1)11)(n2)这个一般规律。n(n3而且由此我们可以进一 步猜想推断：1），（1 2 341 2 3 4 - 0 1 2 323415 - 123），451456 - 2 3），（2 3 44334 5 .441本题先研究问题的几并得到：23234345 .n(n1)( n 2)1)(n2)( n3).1n(n4如果我们不满足于此， 我们是否可以进一步设 想：123n2 34(n1)345(n2)n(n1)(n2) 2n1n(n
6、1)(n2)2n(2n1)n 1种特殊情形，再探索并归纳出一般性的结论或规律，然后运用归纳出的规律解决具体问题。2.分类讨论思想分类讨论的思想是指当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。例 3（2010 年福建宁德中考题改编） 如图 4，在梯形 ABCD中，ADBC， B 90，BC6，AD3， DCB30.点 E、F 同时从 B 点出发，沿射线 BC向右匀速移动 . 已知 F 点移动速度是 E 点
7、移动速度的 2 倍，以 EF为一边在 CB 的上方作等边 EFG设 E 点移动距离为 x（0x6）. 若 EFG与梯形 ABCD重叠部分面积是 y，求 y 与 x 之间的函数关系式。ADGBEFC图 4解析：随着 E 点移动的距离不同， EFG与梯形 ABCD重叠部分图形也不同，因此我们要根据x 的不同取值分三种情况进行讨论：所以 y 3当0x2 时， EFG在梯形内部，如图4,x2；ABCD4当 2x3 时，如图 5，点 E、点 F 在线段 BC上，EFG与梯形 ABCD重叠部分为四边形EFNM， FNC FCN30 , FNFC62x. GN 3x6.由于在 RtNMG中， G 60，.所
8、以，此时 y3x23 （ 3 ）27 3x29 393.48x68x22当x6时，如图6，点E在线段上，点F在射线上，3BCCHEFG与梯形 ABCD重叠部分为 ECP，EC6x,y 3 （6x）2 3 x23 3 x9 3 .G8822GADADMNPBEF CBECH图 6图5当题目中满足条件的图形形状不能确定时，就应根据题意，构造符合题意的各种图形，动中取静，然后分情况加以讨论。例4.函数 yax2ax3x1的图像与 x轴有且只有一个交点。 求 a的值及交点坐标。解析：本题中的函数可 以是一次函数，也可以 是二次函数，故应对二 次项系数 分a两种情形讨论 :（）当时，2是一次函数y 3x 1,与轴交于点（1 ）；1 . a 0y axax 3x 1x- ,0ax23(2).当 a0时， yax 3x 1是二次函数，20,
