《高中数学 课后提升训练八 1.4 生活中的优化问题举例 新人教A版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 课后提升训练八 1.4 生活中的优化问题举例 新人教A版选修2-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课后提升训练 八 生活中的优化问题举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为()A.8m3B.12m3C.16m3D.24m3【解析】选A.设长方体的底面边长为xm,则高为(6-2x)m,所以0x0),L=2-.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).因为L在(0,+)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x
2、3+36x+126,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.11万件B.9万件C.6万件D.7万件【解析】选C.y=-x2+36,令y=0,又x0,解得x=6,当0x0,函数单调递增,当x6时,y0),则获得利润最大时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x0),所以y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x0),所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函数,在(3,+)上是减函数,故当x=3时,获得最大利润.5.(2017梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为(
3、)A.B.C.D.2【解析】选C.如图,设底面边长为x(x0),则底面积S=x2,所以h=.S表=x3+x22=+x2,S表=x-,令S表=0得x=,因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.6.如图,在等腰梯形ABCD中,CD=40,AD=40,梯形ABCD的面积最大时,AB等于()A.40B.60C.80D.120【解析】选C.设BAD=,则AB=40+240cos,梯形高h=40sin,从而梯形面积S=1600(1+cos)sin.故S=1600(cos+cos2).令S=0,得cos=-1(舍)或cos=,即=,此时AB=80,即当AB=80时,梯形有最大面积1200.7.某商场从生产厂
4、家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28000元D.23000元【解析】选D.设毛利润为L(P),由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11700P-166000,所以L(P)=-3P2-300P+11700,令L(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).此时,L(30)=23000.根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零
5、售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.8.(2017昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是()A.150B.200C.250D.300【解析】选D.因为总利润p(x)=当0x390时,p(x)=-x2+300,令p(x)=0,得x=300,当x(0,300)时,p(x)0,p(x)递增,当x(300,390)时,p(x)390时,p(x)=90090-100x-2000090090-100390-20000=3109040000,所以当x=300时,
6、总利润最大.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为_,宽为_时,矩形的面积最大.【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,此时S=x(30-x)=30x-x2,令S=30-2x=0,所以x=15.当0x0,当15x30时,S0),所以y=2,令y=0,解得x=200(x=-200舍去),这时y=800.当0x200时,y200时,y0,所以当x=200时,y取得最小值,故其周长至少为800m.答案:80010.(2017全国乙卷)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,D
7、BC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_.【解析】连接OD,交BC于点G,由题意得ODBC,OG=BC,即OG的长度与BC的长度成正比,连接OB,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=,SABC=2x3x=3x2,则V=SABCh=x2=,令f=25x4-10x5,x,f=100x3-50x4,令f0,即x4-2x30,x0),固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/
8、时)的函数,并指出这个函数的定义域.(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?【解析】(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a+bv2=s,故所求函数及其定义域为y=s,v(0,c.(2)由题意知s,a,b,v均为正数.由y=s=0得v=,0c,v(0,c,此时yc时,行驶速度v=c.12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6x11),年销量为u万件,若已知-u与成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式.(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.【解析】(1)设-u=k,因为售价为10元时,
9、年销量为28万件,所以-28=k,解得k=2.所以u=-2+=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;当x(9,11)时,y0.所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.所以当x=9时,ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.【能力挑战题】某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0,f(x)是增函数;当x时,f(x)0,f(x)是减函数.所以当x=时,f(x)取极大值,f=20000,因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.
