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1、专题一 核心考点速查练考点07 立体几何核心考点呈现1、柱锥台的结构特征2、三视图、斜二测画出直观图3、球柱锥台的表面积和体积公式4、线面位置关系5、线面平行、面面平行判定和性质6、线面垂直、面面垂直判定和性质7、用已获结论证明空间图形的位置关系直线方向向量与平面的法向量8、异面直线成角、线面角、二面角及点到直线的距离的计算1一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这个平面图形的面积为()A B2C D【答案】B【解析】如图将直观图ABCD还原后为直角梯形ABCD，其中AB2AB2，BC1，ADAD1.所以S22.2一个斜三棱柱(侧棱与底
2、面不垂直)，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60，则这个斜三棱柱的侧面积是()A40B20(1)C30(1)D30 【答案】D【解析】如图所示，若A1ACA1AB60，则可证明BB1C1C为矩形，因此，S侧2SAA1B1BS矩形BB1C1C245sin604520(1)故选B3如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用代表图形)()ABCD【答案】B【解析】正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图应该是相邻两边长为5和4的
3、矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是，故选B4设a、b、c是空间的三条直线，、是空间的两个平面，则下列命题中不成立的是()A当ca时，若c，则aB当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若cb，则c【答案】 A【解析】对于选项A，a可能在平面内，故A不成立；而B、C、D均成立7已知l，m，n是三条不同的直线，是不同的平面，则的一个充分条件是()Al，m，且lmBl，m，n，且lm，lnCm，n，mn，且lmDl，lm且m【答案】 D【解析
4、】对于A，l，m，是lm，如图(1)，不垂直；对于B，l，m，n，且lm，ln，如图(2)，不垂直；图(1)图(2)对于C，m，n，mn，且lm，直线l没有确定，则，的关系也不确定；对于D，l，lm，且m，则必有l.根据面面垂直的判定定理知，.5.图所示，等腰直角三角形ABC中，AB2，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且DEAC，EFAB，现沿DE折叠，使平面BDE平面ADEF，若此时棱锥BADEF的体积最大，则BD的长为()ABC1D【答案】B【解析】设BD的长为x时，棱锥BADEF的体积最大等腰直角三角形ABC中，AB2，DEAC，EFAB，BD为棱锥BADEF的高，此时底面ADEF
5、为矩形，AD2x，DEx.故棱锥BADEF的体积VBDADDE(2x)xxx3x2.Vx2x，当0x0，此时函数为增函数；当x2时，V0，此时函数为减函数，故当x时函数取得最大值，即当BD时，棱锥BADEF的体积最大6在三棱锥CABD中(如图)，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB4，二面角ABDC的大小为60，给出下列结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cosADC；四面体ABCD外接球的表面积为32.其中所有正确结论的序号是()ABCD【答案】D【解析】由题意知，BCCDADAB，且BCCD，BAAD因为O是斜边BD的中点，所以OCBD，OABD，且OCO
6、ABD，所以AOC是二面角ABDC的平面角，所以AOC60，所以AOC是正三角形，即正确而OCOAO，所以BD平面AOC，所以BDAC，即正确若ADCO，则由COBD可得CO平面ABD，所以COOA，这与AOC60矛盾，所以不正确因为ABCDAD4，AC2，所以cosADC，所以不正确因为OBOCOAOD，所以O是四面体ABCD外接球的球心，所以外接球的表面积为4(2)232，即正确综上所述，所有正确结论的序号是.7在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为A1BC1的()A垂心 B内心 C外心 D重心【答案】 A【解析】设B1D1A1C1M，则平面B
7、B1D1D平面A1BC1BM，所以点E在中线BM上，同理设B1CBC1N，则平面A1B1CD平面A1BC1A1N，所以点E在中线A1N上，因此点E为A1BC1的重心8在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A BC45 D45【答案】 A【解析】取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，故AC平面SGB，所以ACSB因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD同理SBFE.又因为
8、D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，所以四边形DEFH为平行四边形又因为ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，9如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱DD1、AB上的点已知下列命题：A1C平面B1EF；在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；平面B1EF与平面ABCD所成二面角的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关其中真命题有_个【答案】1【解析】对于，A1C平面AB1D1，而平面B1EF与平面AB1D1不一定重合，是假命题；对于，两平面有公共点B1，两平面相交，则一个平面内平行于两个平面交线的直线一定平
9、行于另一个平面，是真命题；对于，代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时二面角的大小为45，F与B重合，E与D重合时二面角的大小为90，是假命题10如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AEAA1，CFCC1，点A，C到BD的距离之比为32，则三棱锥EBCD和FABD的体积比_.【答案】：【解析】由题意可知点A，C到BD的距离之比为32，所以，又直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AEAA1，CFCC1，所以，于是.11在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂
10、直的点P所构成的轨迹的周长等于_【答案】：2【解析】取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD，设M在平面AB1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为，能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，矩形AEFD的周长为2.12在如图所示的棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_；截得的平面图形中，面积最大的值是_【答案】：23【解析】截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为(2)22.截得的平面图形中，面积最大的
11、是正六边形，如图，面积为6()23.13.已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】正方体的棱长为1,平面过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面如下图所示:该正方体在平面内的正投影如下图所示:则即为该正方体在平面内的正投影面积,该投影是正六边形.因为正方体的棱长为1,则 则由正六边形的性质可知 则所以 则故选:B14如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多
12、边形截面面积最大值为（ ）.ABCD【答案】A【解析】补成正方体，如图.截面为平行四边形,可得，又 且 可得当且仅当时取等号，选A15.四棱锥PABCD中，(4，2,3)，(4,1,0)，(6,2，8)，则这个四棱锥的高h()A1B2C13D26【答案】B【解析】设平面ABCD的一个法向量为n(x，y，z)则令y4，则n，则cosn，.因为|cosn，|，所以h22.16.已知底面是边长为2的正方形的四棱锥PABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为()ABCD【答案】A【解析】解法一：选A如图，取PC的中点F，连接EF，则EF1，且ECB为异面直线
13、AD与CE所成的角在PEF中，由余弦定理，得cosEPF.在PEC中，由余弦定理，得CE2PE2PC22PEPCcosEPC22422246，所以cosECB，故选A解法二：设O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，1，0)，D(1，1,0)，C(1,1,0)，E，所以(2,0,0)，所以|cos，|，故选A17.已知球O为三棱锥SABC的外接球， ，则球O的表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】取SC中点M，连接AM、MB，因为SAC是等边三角形，且SBBC，AMSC，MBSC，SC平面AMB，球心O在平面AMB上，作平面SAC，可得为等边三角形SAC的中心，所以，取AB中点N，连接ON，ONAB，四点共圆，AO为这四点共圆的直径，也是三棱锥SABC外接球的半径，连接，在ABM中：，MAB90，在直角三角形中，由勾股定理，得，三棱锥SABC外接球的半径长为A
