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1、第8讲解三角形应用举例,1.解三角形的常见类型及解法,在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，,常见类型及其解法如下表所示：,(续表),(续表),2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航,海问题等.,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平 视线下方的角叫做俯角如图 3-8-1(1).,(1),(2),图 3-8-1,(2)方向角：,相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等. (3)方位角：,指从正北方
2、向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的,方位角为如图 3-8-1(2).,(4)坡角：,坡面与水平面所成的二面角的度数.,1.某船只在海面上向正东方向行驶了 x km 迅速将航向调整,为南偏西 60，然后沿着新的方向行驶了,km，此时发现,离出发点恰好 3 km，那么 x 的值为_.,3 或 6,2.如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边 选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA,),45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为( 图 3-8-2,A,3.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测 得俯角分别为 45和 30，且两条船
3、与炮台底部连线成 30角，,则两条船相距(,),解析：如图 D20，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为 B.,图 D20,答案：D,D,考点,测量问题,考向 1,测量距离问题,例 1：(1)(2018 年宁夏银川一中月考)如图3-8-3，设 A，B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量 者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测 出 AC 的距离是 m 米，BAC，ACB，,则A，B 两点间的距离为(),图 3-8-3,答案：C,(2)(2014 年四川)如图3-8-4，从气球 A 上测得正前方的河流 的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60 m，,则河流的宽度
4、 BC(,),图 3-8-4,答案：C,(3)(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-5，为了测量 A，B 处岛 屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15、 北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛,屿间的距离为(,),图 3-8-5,解析：由题意，可知BDC904545， 又BCD90，BCCD40 海里. 在ADC中，ADC105，ACD906030，,答案：A,【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在,有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.,(
5、2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学,模型的解.,考向 2,测量高度问题,例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-6，一辆汽车在一条水平的 公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. 图 3-8-6,(2)(2014 年新课标)如图 3-8-7，为测量山高 MN，选择点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角 为MAN60，点 C 的仰角为CAB45，以及MAC 75；从点 C 测得MCA60.已知山
6、高 BC100 m，则山高,MN_m.,图 3-8-7,答案：150,(3)(2017 年河南郑州模拟)在地平面上有一旗杆 OP(O 在地 面)，为了测得它的高度 h，在地平面上取一基线 AB，测得其长 为 20 m，在 A 处测得 P 点的仰角为 30，在 B 处测得 P 点的仰 角为 45，又测得AOB30，则旗杆的高 h 等于_. 解析：如图 D21 及根据题意有PAO 30， ABO 中，利用余弦定理求得 h20(m).,答案：20 m,图 D21,【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的,概念.,(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个,三角形内运用正弦或
7、余弦定理.,考向 3,测量角度问题,图 3-8-8,思维点拨：根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定,理求 BC，再使用正弦定理求角度.,BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶. 又在BCD 中，CBD120，BCD30，,缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私 船，大约需要 15 分.,【规律方法】角度问题的解题方法,首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分 清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最 重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解 决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的 优点.,提醒：方向角是相对于某点而言的，
8、因此确定方向角时，,首先要弄清是哪一点的方向角.,【跟踪训练】 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在 观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在,灯塔 B 的(,),B,A.北偏东 10 C.南偏东 10,B.北偏西 10 D.南偏西 10,难点突破 解三角形中的最值问题,思维点拨：(1)“化边”用余弦定理求 A；,sin Bsin C 的取值范围，也可用余弦定理及均值不等式构造关 于 bc 的不等关系求解.,【规律方法】三角函数中最值(或范围)问题： 在ABC 中，若已知C 及其对边 c.,可用“化角”的方法求形如 ab,c sin C,(sin Asin B)的,式子的取值范围； 可用余弦定理得含有ab，ab及a2b2的等式，再利用 均值定理化为以ab 或ab 为变量的不等式求得ab 或ab 的 最值，从而可得三角形周长或面积的最值.,【跟踪训练】,答案：(1)D,(2)C,1.运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式可以求有关 三角形的边、角、外接圆半径、面积的值或范围等基本问题. 2.本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题 的解决.主要是学生看不到问题的本质，受到许多非本质问题的 干扰.要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练.,
