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1、 第四讲 主干考点 函数与导数对于函数部分的备考，应先掌握基本概念和基本运算，牢记基本初等函数的图象与性质，重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法在解题中的应用，导数是高中数学知识的一个重要知识点，主要考查与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值、最值等常规问题求解的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明等有关导数问题的求解过程又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，这些对培养考生的应用能力和创新意识都大有益处【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、函数1函数及其表示(1)概念：非空数集非
2、空数集的对应（中有唯一与中的对应）(2)三要素：定义域、值域()、对应关系(3)表示方法：解析法、图象法、列表法求函数定义域的主要依据分式的分母不为零；偶次方根被开方数不小于零；对数函数的真数必须大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于l；由有限个基本初等函数运算合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数定义域的交集；由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义【注意】对于复合函数的定义域，应遵循先内后外的原则，若已知的定义域为，则的定义域由求出，若已知的定义域为 ，则的定义域为在 上的值域求函数值域的常用方法直接法：利用常见函数的值域来求，
3、如：()的定义域为，值域为()的定义域为，当时，值域为；当时，值域为；配方法：利用二次函数的特征来求值域，常化为，的形式；换元法：利用化归思想通过变量代换转化为容易求值域的函数；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数的有界性来求值域；基本不等式法：转化成的形式，利用基本不等式来求值域不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性，进而求其最值和值域要特别注意定义域对值域的制约作用；数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围；分离常数法：即将有理分式转化为“反比典例函
4、数类”的形式，便于求值域2函数的性质(1)单调性 注意：先求出定义域，单调区间是定义域的子集(2)判断方法：定义法：设，且，作差，确定差值的符号若为负，；若为正，导数法：若在区间内可导，则【提醒】复合函数的单调性遵循“同增异减”法则一些有用的结论在公共定义域内：增+增=增；减+减=减；增减=增；减增=增函数在，上单调递增；在，上单调递减单调函数的等价定义：，且，(2)奇偶性对于先判定函数的定义域是否关于原点对称奇偶性定义：对于函数的定义域内任意一个都有图象特征：关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同【注意】若的定义域中有0，则必有，但是为奇函数的必要不充分条件偶函数定义：对于函数的定义域内任
5、意一个都有图象特征：关于轴对称，且在对称区间上的单调性相反判定函数奇偶性的常用方法及思路定义法图象法性质法在公共定义域内：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇【提醒】判断分段函数的奇偶性，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象判断(3)周期性周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现，注意从代数变换角度分析抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：若，则的一个周期是若，则的一个周期是若或，则的一个周期是(4)函数图象的对称性一个函数图象的对称性a若满足，即,则的图象
6、关于直线对称b若满足，则的图象关于直线对称c若满足，则的图象关于点成中心对称两个函数图象的对称性a函数与的图象的对称轴为，并非直线b函数与的图象的对称轴为c函数与的图象关于点 对称(5)图象变换平移变换；对称变换；伸缩变换；翻折变换a左右翻折变换：b上下翻折变换：二、函数的图象和性质1二次函数的图象和性质图象定义域值域单调性在上递减在上递增在上递增在上递减奇偶性时为偶函数，时非奇非偶函数图象特点对称轴：；顶点2指数函数、对数函数的图象和性质指数函数对数函数值域图象不变性恒过定点恒过定点增减性时为增函数，时为减函数时为减函数，时为增函数3幂函数的图象和性质(1)所有的幂函数在上都有定义，且都过点
7、(2)时，图象通过原点，并且在上是增函数，特别地，当时，图象下凸；当时，图象上凸(3)时，图象在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴4对数的运算性质；（且，） 换底公式：（,均大于零且不等于1，）三、函数与方程1函数的零点方程有实数根的图象与轴有交点有零点【注】有根，函数才有零点，一个实数，即的图象与轴交点的横坐标函数的零点问题与的图象交点问题2二次函数()的图象与零点的关系二次函数()的图象与轴的交点，无交点零点个数2103判断函数零点的主要方法零点定理法：根据连续函数满足，判断函数在内存在零点数形结合法：函数
8、的零点是函数的图象与轴交点的横坐标，【注意】利用零点定理法求解时，满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点四、导数1导数的几何意义(1)在处的导数就是在点处的切线的斜率，即(2)在点处的切线方程为【提醒】求曲线的切线时要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点2导数的正负与函数单调性的关系(l)是为增函数的充分不必要条件，即为增函数，反之不成立如函数在上单调递增，但(2)是为增函数的必要不充分条件，即在内单调递增，反之不成立当函数在某个区间内恒有时，则为常数，不具有单调性3导数的运算法则.()()复
9、合函数求导：设，则4导数的应用(1)利用导数研究函数单调性的思维导图(2)利用导数研究函数极值的思维导图(3)利用导数研究函数最值的思维导图求在闭区间上的最值求导数求内所有使的根求出根所对应的函数值与端点处的函数值比较大小得结论求在非闭区间上的最值求导数判断的单调性下结论 【注意】(1)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(2)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值5生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，利用导数解决生活中优化问题的基本思
10、路为：五、定积分与微积分基本定理1定积分的性质(1)(2) (为常数)(3)2微积分基本定理一般地，如果函数在区间上是连续函数，并且，那么3定积分在几何中的应用由曲线与直线，和所围成的曲边梯形的面积为(1)当时，(2)当时，(3)当时，；当时，则【注意】平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值【方法技巧突破】必考点1 有关函数图象问题的求解【典例1】(2019年全国卷)函数在的图像大致为 A B C D【解析】，为奇函数，排除A；，排除C；，且，排除B故选D【方法探究】利用特殊值和函数的奇偶性判断【典例2】(2018全国卷)函数的图像大致为【解题思路】由函数的奇偶性判断函数的图象关于轴对称，然
11、后利用导数判断函数的单调性即可确定该函数的图象【解析】当时，排除A，B由，得或，结合三次函数的图象特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D【方法总结】判断高次函数图象题目，注意运用导数的极值点【典例3】(2017全国卷)函数的部分图像大致为【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，排除D；当时，因为，所以，故，排除A故选C【思路点拨】破解此类由函数的解析式判断函数的图象问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点，排除不适合的选项，从而得出合适的选项【典例4】(2016全国卷) 函数在2,2的图像大致为A BC D【解析】当时，令函数，
12、则，易知在0，）上单调递增，在，2上单调递减，又，所以存在是函数的极小值点，即函数在上单调递减，在上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D【思路点拨】破解已知函数的解析式判断函数的图象题时，不仅要会用特殊点法排除，而且要会利用导数法，判断图象的单调性或利用导数的几何意义去识别【典例5】若函数且的图象如图所示，则下列函数图象正确的是A B C D【解析】因为函数的图象过点，所以，解得，所以函数的图象不可能过点，排除A；函数的图象不可能过点，排除C；函数的图象不可能过点，排除D故选B【方法探究】求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，求出参数的值；二是利用特殊点法或函数的
13、单调性来判断函数图象总之，有关函数图象的判断题常利用“特殊点”与“函数的性质”来求解【典例6】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为将点到直线的距离表示成的函数，则在的图象大致为 A B C D【解析】由题意知,，当时,； 当时，故选B【典例7】已知函数，则的图象大致为【解析】解法一（函数性质法）函数满足，且，即且设，则由于，显然当时，当时，所以函数在处取得极大值，也是最大值，故，当且仅当时，所以函数的定义域是，且函数在上的值域为，故函数的值域也是，且在附近函数值无限小，观察各选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求，解法二（特殊值检验法）当时，函数无意义，排除选项D中的图象，当时，除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象【方法探究】研究函数的图象要从研究函数的性质入手，即研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点等，通过函数的
