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1、 2020届高三数学二轮复习第六讲 平面向量【考点思维脑图】【重要考点串讲】1向量的有关概念(1)零向量：模为0，方向任意，记作0和任一向量平行(2)单位向量：长度等于l，与向量共线的单位向量为(3)相等向量：长度相等且方向相同(4)平行向量：方向相同或相反，也叫共线向量共线指向量所在的直线平行或重合2平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量（0）与共线当且仅当存在唯一一个实数，使(2)平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，其中，是一组基底3平面向量的两个充要条件若两个非零向量，则：(1)(2)4平面向量的数量积设为与的夹
2、角，(1)定义：(2)投影：叫做向量在方向上的投影而不是5平面向量的三个性质(1)若，则(2)若，则(3)若，为与的夹角，则当与同向时，；当与反向时，【注意】，夹角为锐角或零角，夹角为直角，且、不共线时，夹角为钝角6(1)加减法法则三角形法则 共起点的向量的差用三角形法则加法：减法：平行四边形法则 共起点的向量的和用平行四边形法则对于非零向量，此时平行四边形是矩形(2)若与都是非零向量，则与共线；若与不共线，则两个重要结论(1)向量的中线公式：若P为线段AB的中点，则(2)向量加法的多边形法型：【方法技巧突破】必考点1 平面向量的基本定理的应用【典例1】(2019年江苏卷)如图，在中，是的中点
3、，在边上，与交于点若，则的值是 【解析】由，三点共线，可设，则，由，三点共线可设，则，则，由平面向量基本定理可得，解得，则，则，化简得，则【典例2】(2018全国卷)在中，为边上的中线，为的中点，则A BC D【解析】通解 如图所示，故选A优解 故选A【方法总结】平面向量是具有代数与几何双重特征的量，因此解题时既要考虑其代数运算，也要兼顾其几何意义，数形结合，优化运算过程【典例3】(2018天津)如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为A B C D 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形中，所以，设,，所以，因为，所以，即，解得，即，因为在
4、上，所以，由，得，即，因为，所以，令，因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以所以的最小值为，故选A【方法探究】通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算进行求解【典例4】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是A BC D【解析】解法一 若，则，不能由，表示，排除A；若，因为，所以，不共线，根据平面向量的基本定理，可以把向量表示出来，故选B解法二 因为，若，不存在实数，使得，排除A；若，设存在实数，使得，则，所以，解得，所以，故选B【方法探究】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向
5、量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将待求向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解【典例5】如图,在直角梯形中，且，则A1 B2 C3 D4【解析】解法一根据图形，由题意可得 ，因为，所以，则解法二因为，所以，整理,得，以下同解法一解法三 如图,延长，交于点，则由得，且，又，所以为的中点,且于是以下同解法一.解法四 如图，建立平面直角坐标系，依题意可设点，其中，(结合图形,巧设点的坐标)由，得，所以，解得，所以选C【方法探究】此题充分体现了向量的灵活性，要求反复训练解法一 侧重利用向量加法运算及其几何意义进行分析；解法二 的切入点是根据向量等式，将向量用向
6、量，线性表示；解法三 巧作辅助线,利用向量等式表示的几何意义进行分析；解法四 通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标运算进行求解必考点2 平面向量数量积的运算【典例1】(2019年全国卷)已知，为单位向量，且，若，则_【解析】设，则，所以【典例2】(2018浙江)已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A BC2 D【解析】解法一 设为坐标原点，由得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l为半径的圆因为与的夹角为，所以不妨令点在射线()上，如图，数形结合可知故选A解法二 由得设，所以，所以，取的中点为则在以为圆心，为直径的圆上，如图设，作射线，使得，所以故选A【方法探究
7、】将进行转化，再利用数形结合求解即可【典例3】(2017山东)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 【解析】，解得：【典例4】设向量满足=，=，则= A1 B2 C3 D5【解析】因为=，所以，即 又因为，所以 由-得，则选A【典例5】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则A B C D【解析】由已知可以得到，且，所以，即，即，解得【方法探究】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若，则必考点3 平面向量与平面几何的综合问题【典例1】已知直线()与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则的取值
8、范围是A(，+) B，+) C，) D，)【解析】设的中点为，则，因为，所以，所以，所以因为，所以，因为直线()与圆交于不同的两点，所以，所以，所以，因为，所以，所以的取值范围是，)故选C【典例2】在平面直角坐标系中，已知点，是轴上的两个动点，且，则的最小值为_【解析】设，所以，当时，取得最小值【典例3】(2017全国卷) 在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为A3 B C D2【解析】如图建立直角坐标系，则，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A【方法
9、探究】解决本题的关键是将二元最值问题转化为一元最值问题，这类消元方法是解决二元最值问题的一个重要思路【典例4】在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是A B. C D【解析】解法一（坐标法）由，可得，又是两定点，可设，.由，可得因为，所以整理，得当，且时，不等式为；当，且时，不等式为；当，且时，不等式为；当，且时，不等式为；画出不等式所表示的可行域，如图中的阴影部分所示求得，显然该平面区域是一个矩形，边长，故该平面区域的面积，选D解法二（向量法） 由，知当，时，在OAB中，取，过点作交于点D，作交OB于点E，显然由于，所以，于是故当时，点在线段上，所以，时，点必在
10、OAB内（包括边界）考虑，的其他情形，点构成的集合恰好是以为一边，以，为对角线一半的矩形，其面积选D【方法探究】数学问题求解的基本思维方法是从题设条件出发寻找解题的方向，在决策解题方法时，对题设条件的思维切入点不同，解题的方法将不尽相同，本题中，由第一个题设条件“”可以得到OAB是一个边长为2的等边三角形，再由第二个题设条件“”引导我们去思考构成平面点集的区域图形的形状，如解法二（向量法）；也可以从坐标的角度考虑，先建立平面直角坐标系，利用题设条件表示出相关点的坐标，得到由构成的平面区域，再用线性规划知识计算它的区域面积，如解法一（坐标法）必考点4 平面向量与三角函数的综合问题【典例1】如图，
11、在扇形中，=90，是的中点，点在弧上，则的最小值为A4 B C D【解析】如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则(1，0)，(0，2)，设，0，所以 =，其中，所以的最小值为故选B【典例2】（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为若=+（，），则= 【解析】解法一以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，由，得，设，则，即又，则，即，由=+，可得，解得，所以解法二 由可得，由=+得，即两式相加得，所以所以【方法探究】平面向量数量积的运算一般有两种解法，一是利用向量数量积的坐标运算求解，二是利用向量数量积的定义和运算性质求解【
12、典例3】已知向量，(1)若，求证：；(2)设，若，求的值【解析】(1)由题意得，即又因为所以，即，故(2)因为，所以，由此得，由，得又，故，代入，得，而，所以，【方法探究】平面向量与三角函数的综合问题的解题方法(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【易错点总结】1向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，根据，无论向量在平面上如何移动，向量的坐标是唯一的20的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即3注意向量的数量积的运算定律，特别注意在一般情况下时未必有或者4求向量的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点5利用向量求角时，要注意两向量所成角的范围是特别注意不能等同于所成的角是锐角当同向时也满足第17页共17 页
