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1、(了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理/了解合情推理在数学发现中的作用/了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理/了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异),11.2 合情推理与演绎推理,1合情推理主要包括 和 推理 合情推理的过程： (1)归纳推理：由某类事物的 对象具有某些特征，推出该类事物的 对 象都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称 为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理,归纳推理,类比,部分,全部,个别事实工科,一般结论,部分,整体,个别,一般,归纳推理的基本模式： ； 结论：dM，d也具有某属性
2、(2)类比推理：由 具有某些类似特征和其中 的某些已知特征，推出另 也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)，简言之， 类比推理是由特殊到 的推理 类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B： ； 结论：B具有属性d. (a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同),a、b、cM且a、b、c具有某属性,两类对象,一类对象,一类对象,特殊,具有属性a，b，c,2演绎推理：从 的原理出发，推出某个 的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由 到 的推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做
3、出的判断 (2)“三段论”可以表示为 大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P. 用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集， 那么S中所有元素也都具有性质P.,一般性,特殊情况下,一般,特殊,1某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是() A白色 B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大 答案：A 2已知a13，a26，且an2an1an，则a33为() A3 B3 C6 D6 答案：A,3(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的
4、体积比为_ 解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18. 下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如右图，正四面体ABCD的棱长为1，取BC的中点E，作AOED于O，则OD= 又在RtAOD中，AO= 则V正四面体ABCD= ； 同理可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体ABCD= V正四面体ABCDV正四面体ABCD= 答案：18,4在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的 ”拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的_ 解析：采用解法类比 答案：,归纳推理的一般步骤： 1通过
5、观察个别情况发现某些相同本质 2从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题因为归纳推理是由特殊得出的一般性结论，所以归纳应立足于观察、经验和实验的基础之上；有时归纳推理的结论不一定可靠，需要对所得结论进行检验(数学上的检验标准是能否进行严格证明),【例1】在数列an中，a11，an1 ，nN*， 猜想这个数列的通项公式 思维点拨：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项， 然后总结归纳其中的规律，写出其通项公式,解答：在an中，a11，a2 ，a3 a4 ， 所以猜想an的通项公式an (nN*) 证明如下：因为a11，an1 ，所以 即 ，所以 是以 1为首项， 公差为 的等差数列，所
6、以 所以通项公式an,变式1. 设f(n)n2n41，nN*，计算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)， f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n40验证猜想是否正确 解答：f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153， f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183， f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131， f(10)1021041151. 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数， 归纳猜想：当xN*时，f(n)n2n41的值都为质数 n40时，f(40)402404
7、140(401)4141411 681， f(40)是合数，因此，由上面归纳推理得到的猜想不正确.,类比推理是由特殊到特殊的推理，推理的结果不一定准确，但是可以通过严格的逻辑证明来解决这类问题，在类比时要注意已知问题与类比问题的共性与区别通常情况下，平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体另外常见的类比还有代数中的加减运算可类比为乘除运算，等差与等比的类比，0与1的类比，平面几何与空间几何的类比等,【例2】(2009浙江)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_， 成等比数列
8、思维点拨：由 可想到求， 即可,解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn， 则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16， 因此 a5a6a7a8， a9a10a11a12， a13a14a15a16， 而T4， 的公比为q16，因此T4， 成等比数列 答案：,变式2.(2009深圳一调)在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r . 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_. 解析：在直角三角形中，外接圆的半径为斜边长的一半在三棱锥中，外接球的直径为以直角顶点出发的
9、三条棱为边的长方体的体对角线，故有R 答案：,1. 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论 2演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理,【例3】已知函数f(x) (a0且a1)， (1)证明：函数yf(x)的图象关于点 对称； (2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值 思维点拨：证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数 yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上 小前提是f
10、(x) (a0且a1)的图象关于点 对称,(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)， 它关于点 对称的点的坐标为(1x，1y) 由已知得y ，则1y1 f(1x) 1yf(1x) 即函数yf(x)的图象关于点 对称 (2)解答：由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1， 则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.,变式3.证明函数f(x)x 在(1，)上是增函数 证明：证法一：任取x1，x2(1，)且x1x2， 则f(x1)f(x2) x2x11，x1x20， 1，1 0， f(x1)f(x
11、2)0，即f(x1)f(x2) 于是，根据“三段论”可知，f(x)x 在(1，)上是增函数,证法二：f(x)1 ，又x(1，)， 1，f(x)1 0， f(x)x 在(1，)上是增函数,1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向 2合情推理的过程概括为：,【方法规律】,3演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 4合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确但合情推理常常
12、帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)； 5. 在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明.,(2009广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图； (2)求该安全标识墩的体积； (3)证明：直线BD垂直于平面PEG.,【答题模板】,解答：(1)该安全标识墩侧视图如右图所示 (2)该安全标识墩的体积 VVPEFGHVABCDEFGH
13、 4026040220 32 00032 00064 000(cm3) (3)证明：由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，FHEG， 又ABCDEFGH为长方体，BDFH.,设点O是EFGH的对称中心，PEFGH是正四棱锥， PO平面EFGH，而FH平面EFGH， POFH.FHPO，FHEG，POEGO， PO平面PEG，EG平面PEG， FH平面PEG.而BDFH， 故BD平面PEG.,1. 这道题是比较简单的，只要连结图上的EG、HF及BD，找出EG与HF的交点O，连结PO，由正四棱锥的性质经几个简单的步骤就可以推证出来 广东文科试题近三年对推理论证能力的考查一直停留在比较初
14、级的阶段，主要以立体几何中的一些位置关系证明与判断的形式出现难度不大，非常符合广东文科考生数学认知特点与水平所以文科考生不必对推理与证明产生畏惧，掌握论证问题(线面关系)的一些简单、基本思路，这个分数是很容易得到,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,2推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程推理既包括演绎推理，也包括合情推理论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性的初步推理能力.,
