《【创新设计】高三数学一轮复习 3.1 数列的概念课件 文 大纲人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【创新设计】高三数学一轮复习 3.1 数列的概念课件 文 大纲人教版（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【考纲下载】,1. 理解数列的概念 2了解数列通项公式的意义 3了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列 的前几项.,第1讲 数列的概念,1. 数列的有关概念 (1)定义： 的一列数数列中的每一个数都叫做这个数列的项，第n项记作an (2)通项公式：数列an的 之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式,(3)递推公式：如果已知数列an的首项(或前几项)，且 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式,按一定次序排成,第n项an与n,任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间,提示：(1)并不是每一个数列都有通项公式，如每天的股市收盘价
2、构成的数列就不存在通项公式(2)如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上可以不止一个，如数列1,1，1,1的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成ancos n，还可以写成 an,2数列的性质 (1)单调性：若 ，则an为递增数列 若 ，则an为递减数列 (2)周期性：若 (nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列， k为an的一个周期 提示：数列的单调性的判断等价于函数单调性的判断，但数列作为一类特 殊的函数具有本身的某些特点，可直接比较相邻两项an与an1的大小来确定 单调性,an1an,an1an,aknan,3数列的前n项和 (1)定义：对于数列an，我们把a1a2an叫做
3、数列an的前n项和，并记 作Sn，即Sna1a2an. (2)an与Sn的关系：an .,提示：在应用an与Sn的关系式时要分n1和n2两种情况讨论，最后检验 两 种情况能否合用一个式子表示，若不能，就用分段形式表示,1数列3,7，11,15，的一个通项公式是() Aan4n7 Ban(1)n(4n1) Can(1)n(4n1) Dan(1)n1(4n1) 答案：C,2在数列an中，a11，an1 则a100() A1 B1 C D2,解析：a2 a3 2， a4 1，a5 ，a100a11. 答案：A,3已知数列an的通项公式是an ，那么这个数列是() A递增数列 B递减数列 C摆动数列
4、D常数列 解析：an1an 0， an1an，数列an为递增数列 答案：A,4已知数列an的前n项和Sn3n2，则数列的通项为_ 解析：由anSnSn1(n2)， 知：an3n23n1223n1. 当n1时，a1S1，an,答案：an,1. 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用 添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求 2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从 特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检 验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整 3观察、分析数列的特点是最重要的，观察要
5、有目的，观察出项与 项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数 列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决,【例1】 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，；,(3)1，,(5)3,33,333,3 333，. 思维点拨：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系,解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24， 所以an,(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的 分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的
6、数列中，奇数项为 1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21， 所以an(1)n 也可写为an,(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律，原数列的第1、2两项可改写为,(5)将数列各项改写为,分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041， 所以an (10n1).,1. 对于形如an1anf(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用 累加的方法； 2对于形如 g(n)的递推公式求通项公式，只要g(n)可
7、求积，便可利用 累积的方法或迭代的方法； 3对于形如an1AanB(A0且A1)的递推关系求通项公式时，可用迭代 法或构造等差或等比数列法,【例2】 根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a11，an13an2； (2)a11，an1(n1)an. 思维点拨：(1)构造等比数列 (2)累乘法 解：(1)an13an2，an113(an1)， 3，数列an1为等比数列， 公比q3，又a112. an123n1，an23n11.,(2)an1(n1)an， n1， n， n1，,3， 2，a11，,累乘可得：ann(n1)(n2)321.,拓展2：将本例(2)中的an1(n1)an改为an1
8、ann1，求通项公式an. 解：an1ann1， an1ann1， anan1n， an1an2n1， a3a23， a2a12， 以上n1个式子相加得： an123n,1. an与Sn的关系式anSnSn1的使用条件是n2，求an时切勿漏掉n1的情 况； 2利用an与Sn的关系可以消去Sn得到关于an与an1的关系，也可以消去an得到Sn 与Sn1之间的关系，借助递推关系的特点构造等差或等比数列，前者可直接 求出通项an，后者求出Sn后再利用an与Sn的关系求an即可,【例3】 已知数列an的各项均为正数，且Sn 求an.,解：当n1时，a1S1 ， 1.,a10，a11. 当n2时，anS
9、nSn1， Sn,an0，Sn ，又S1a11，满足此式，,整理得，, 是以 1为首项，公差为1的等差数列, 1(n1)1n.,当n2时，anSnSn1, 1a1，当nN*时，an,变式3：已知数列an的前n项和Sn，若Sn3nb，求an的通项公式 解：当n1时，a1S13b， n2时，anSnSn123n1， 因此，当b1时，a12适合an23n1， an23n1. 当b1时，a13b不适合，an23n1， an,综上可知，当b1时，an23n1； 当b1时，an,1. 数列是一类特殊函数，数列也具有单调性，其判断方法与一般函数相同 an1anan为单调递增数列 an1anan为单调递减数列
10、 可以用差值比较法，也可以用商值比较法,2利用数列的通项an，求数列的最大项与最小项若an为最大项， 则 若an为最小项， 则 此种方法是从通项的角度研究，具有一般性， 但此类问题也可以用函数的观点研究,【例4】 已知数列an的通项公式an 求n为何值时，an取最大值,思维点拨：已知数列an的通项公式，要求n为何值时an取最大值， 则需满足 因为涉及an1，所以应先讨论a1是否为最大 值，然后再由不等式组去求使an最大时n的取值,解：易知a1不是数列an中的最大的项， an若取最大值应满足 由已知中an(n1) n，则有 anan1,由anan10，即 0，,解不等式，得n9； 同时满足不等式
11、组的正整数n的取值只能是8,9. 当n8或n9时，a8a9两项都是数列an中的最大项.,解不等式，得n8； anan1(n1) (n11),由anan10，即 0，,【方法规律】,1数列中项的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的 异同数列可看作是一个定义域为正整数集或它的有限子集1,2，n的 函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列 方法的特殊性,2根据所给数列的前n项和求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的 特征：分式中分子、分母的独立特征；相邻项变化的特征；拆项后的特 征；各项符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想 3通项an与前
12、n项和Sn的关系是一个十分重要的考点，运用时，不要忘记对 anSnSn1(n2)验证a1是否适合.,(12分)Sn是数列an的前n项和，根据下列条件求数列an的通项公式 (1)已知Sn2n；(2)an2 1.,【规范解答】,解：(1)当n1时，a1S12； 2分 当n2时，anSnSn12n2n12n1 .4分 由于当n1时，不符合上式，所以数列an的通项公式是 6分,(2)当n1时，a12 1，可解得a11； 当n2时，由an2 1，得4Sn(an1)2， 8分 所以4Sn1(an11)2.两式相减，得4an(an1)2(an11)2sz 所以(an1)2(an11)20，即(anan1)(
13、anan12)0 .10分 若anan10，则a1a3a5a2n11，a2a4a6a2n1， 即an 若anan120，即anan12， 即数列an是首项为1，公差为2的等差数列，所以an2n1. 综上，an .12分,第(1)问由和的通项公式求项的通项公式时，易忽视n1时的情况，直接得出anSnSn12n2n12n1.由于思维不严谨，第(2)问出现 (anan1)(anan12)0，得出anan120， 即求得an2n1这样的错误,【易入误区】,【状元笔记】,由数列an的前n项和求数列an的通项公式，一般要分n1与n2进行讨论，即由数列的前n项和Sn得出an的关系式： 若n1也符合n2时的式子，则可以合并成一个通项公式；如果不能合并，则按分段的形式写出结论.,
