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1、函数综合性大题21. 已知函数（1）求在区间上的最大值（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为1. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为（1）求证：；（2）若函数的递增区间
2、为，求的取值范围；（3）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值解：（1），由题意及导数的几何意义得， （1）， （2） 又，可得，即，故 由（1）得，代入，再由，得， （3） 将代入（2）得，即方程有实根故其判别式得，或， （4） 由（3），（4）得； （2）由的判别式，知方程有两个不等实根，设为，又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得， 当或时，当时，故函数的递增区间为，由题设知，因此，由（）知得的取值范围为； （3）由，即，即，因为，则，整理得，设，可以看作是关于的一次函数，由题意对于恒成立， 故 即得或，由题意，故，因此的最小值为2. 已知函数和点，过点作曲线的两条
3、切线、，切点分别为、 （）设，试求函数的表达式； （）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值 .解：（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， （1） 同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 （）当点、与共线时，即，化简，得， （3） 把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 （）易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ，即对一切的
4、正整数恒成立， ，由于为正整数， 又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 3. 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由、解 （1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2 由f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f(x)=x2+2x 6分（2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为
5、x=1n时，f(x)在m,n上为增函数 若满足题设条件的m,n存在，则12分又mn,m=2,n=0，这时定义域为2,0，值域为8,0 由以上知满足条件的m、n存在，m=2,n=0 16分4. 已知函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为，2分由，得 ，故方程的两根是，故，5分，即 7分（2）依题意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由（1）知，故， ， 14分5. 已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上
6、的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”解： (1)由，得 若函数为上单调增函数，则在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求 (2)证明：由 得 而 又， ， 由、得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数6. 已知函数满足对任意，且，都有 （1）求实数的取值范围；（2）试讨论函数在区间 上的零点的个数；（3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值解：（1）， 4分 又，必有，实数的取值范围是 2分（2），由（1）知： ，所以。 由 ， 当时，总有，0 ， 故时，在上有一个零点； 2分当时， ，
7、即时，在上有两个零点；2分当时，有，0)（I）当0a1；（II）是否存在实数a，b（ab），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a，b，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由（III）若存在实数a，b（a0，f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数由0ab，且f(a)=f(b)，可得 0a13分故，即ab14分 （II）不存在满足条件的实数a，b若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是a，b，则a0 而当时，在（0，1）上为减函数故 即 解得 a=b故此时不存在适合条件的实数a，b6分当时，在上是增函数故 即 此时a，b是方程的根，此方程无实根故此时不存在适合条
8、件的实数a，b8分当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b 综上可知，不存在适合条件的实数a，b10分（III）若存在实数a，b（a0，m0 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在 12分 当，时，由（II）知0在值域内，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在 故只有14分在上是增函数， 即 所以b是方程的两个根即关于x的方程有两个大于1的实根16分设这两个根为，则+=，= 即 解得 故m的取值范围是18分11已知函数（I） 求的值域； （II）设函数，若对于任意总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（I）当时， 在上是增函数，此时 当时， 当时， 在上是增函数，此时 的值域为6 分 （II）（1）若，对于任意，不存在 使得 成立9分（2）若当 时， 在-2，2是增函数， 任给， 若存在，使得成立， 则12分 14分 （3）若，在-2，2是减函数， 16分 综上，实数的取值范围是18分12设函数时，取得极值. （1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值； （2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.解：（1）由题意 2分当时，取得极值，所以 即 5分此时当时，当时，是函数的最小值.8分 （2）设，则 ，10分设，令解得或列表如下
