《【创新课堂】高考数学总复习 专题03 第7节 正弦定理和余弦定理课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【创新课堂】高考数学总复习 专题03 第7节 正弦定理和余弦定理课件 文（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节正弦定理和余弦定理,一、正、余弦定理,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,知识汇合,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,题型一利用正、余弦定理解三角形 【例1】在ABC中，已知B=45，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长,分析：在ADC中用余弦定理求出ADC，再在ABD中用正弦定理求出AB.,典例分析,解：在ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得 cosADC= =- ， ADC=120，ADB=60. 在ABD中，AD=10，B=45，ADB=60， 由正弦定理得 = ，
2、AB= = = =5 .,题型二判断三角形的形状 【例2】 (2010辽宁)在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B+sin C=1，试判断ABC的形状,分析：(1)用正、余弦定理求A. (2)利用已知条件进行变形求解,解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A， 故cos A=- ，即A=120. (2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C又sin
3、 B+sin C=1，即(sin B+sin C)2=sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1，两式联立得sin Bsin C= ，则sin B，sin C是方程x2-x+ =0的两根，解得sin B=sin C= . 因为0B90，0C90， 故B=C= . 所以ABC是等腰的钝角三角形,题型三正余弦定理及面积公式的应用 【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C= .(1)若ABC的面积等于 ，求a，b； (2)若sin B=2sin A，求ABC的面积,分析：(1)利用余弦定理和三角形面积公式联立可求；(2)首先将角的关系转变成边的关系，然后利
4、用余弦定理和面积公式进行求解,解：(1)由余弦定理得a2+b2-ab=4. 又因为ABC的面积等于 ， 所以 absin C= ，得ab=4. 联立方程组解得(2)由正弦定理，已知条件可化为b=2a， 联立方程组解得所以ABC的面积S= absin C= .,题型四正、余弦定理的综合应用 【例4】ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小； (2)若a= ，求bc的最大值,分析：(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A，进而求出A的值 (2)由a= 及b2+c2-a2+bc=0，可求出关于b，c的关系式，
5、利用不等式即可求出bc的最大值,解(1)cos A= = =- ， A=120. (2)由a= ，得b2+c2=3-bc. 又b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号)， 3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号)， 即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.,高考体验,1. 已知在ABC中，a= ，b= ，B=60，那么角A等于() A. 135B. 90 C. 45D. 30,C,解析：由正弦定理 = ，得 = ，可得sin A= . 又ab，AB，A=45.,练习巩固,2. 已知在ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acos B=bcos A，则ABC一定是() A. 等腰三角形
6、B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形,解析：由正弦定理得：acos B=bcos A2Rsin Acos B=2Rsin Bcos Asin(A-B)=0，由于-pA-Bp，故必有A-B=0，即三角形为等腰三角形,A,3. ABC的边分别为a、b、c，且a=1，c=4 ，B=45，则ABC的面积为() A. 4 B. 5 C. 2 D. 6,解析：SABC= acsin B= 1 4 sin 45=2,C,4. 在ABC中，若sin C=2cos Asin B，则此三角形必是() A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 有一角为30的直角三角形,解析：由s
7、in C=2cos Asin B，得sin(A+B)=2cos Asin B，即sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B，即sin Acos B-cos Asin B=0，所以sin(A-B)=0. 又因为-pA-Bp，所以A-B=0，即A=B.,A,5. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c= ，b= ，B=120，则a=_.,解析：由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 120， 即6=a2+2-2a a= 或a=-2 (舍去),6.已知在ABC中，a=7，b=3，c=5，求三角形中的最大角及角C的正弦值,解：acb，角A为最大角 由余弦定理有c
8、os A= =- ， A=120， sin A= ，再根据正弦定理，有 = ， sin C= sin A= = .,7.在ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，试判断ABC的形状,解：由正弦定理 = = =2R，得sin A= ，sin B= ，sin C= . 所以由sin2A=sin Bsin C可得 2= ，即a2=bc. 又已知2a=b+c，所以4a2=(b+c)2，所以4bc=(b+c)2，即(b-c)2=0，所以b=c， 故由2a=b+c得2a=b+b=2b，即a=b，所以a=b=c，即ABC为等边三角形,8.(2011皖南八校联考)已知ABC的周长为 +1
9、，且sin A+sin B= sin C. (1)求边AB的长； (2)若ABC的面积为 sin C，求角C的度数,解：(1)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，两式相减，得AB=1. (2)由ABC的面积 BCACsin C= sin C， 得BCAC= .由余弦定理得， cos C= = = ， 所以C=60.,9(2011杭州学军中学月考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C=3acos B-ccos B求cos B的值,解：由正弦定理得a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， 则2Rsin Bcos C=6Rs
10、in Acos B-2Rsin Ccos B， 故sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B， 可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B 即sin(B+C)=3sin Acos B， 可得sin A=3sin Acos B又sin A0， 因此cos B= .,10.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=1，c= . (1)若角C= ，则角A=_. (2)若角A= ，则b=_.,解析：(1)由正弦定理 = ，得 sin A= = ，又ac，所以AC，所以A= . (2)由 = ，得sin C= = ， 解得C= 或 ， 当C= 时，B= ，可得b=2； 当C= 时，B= ，此时b=1.,11. (2010山东)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=2，sinB+cosB= ，则角A的大小为_,解析：sin B+cos B= sin( +B)= ，sin =1. 又0Bp，B= . 由正弦定理，得sin A= = = . 又ab，AB，A= .,
