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1、单元评价检测(三)(第十八章)(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下列语句正确的是()A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等C.矩形的对角线相等D.平行四边形是轴对称图形【解题指南】由菱形的判定方法得出选项A错误;由全等三角形的判定方法得出选项B错误;由矩形的性质得出选项C正确;由平行四边形的性质得出选项D错误;即可得出结论.【解析】选C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故A错;两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故B错;矩形的对角线相等,故C正确;平行四边形是中心对称图形,故D错.【变式训练】下列命题:平行四边形的对边相等;对角线
2、相等的四边形是矩形;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.平行四边形的对边相等,正确;对角线相等的平行四边形是矩形,错误;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,正确;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,正确,所以有3个真命题.2.(2017黔东南州模拟)如图,在ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于()导学号42684316A.2B.3C.4D.5【解析】选C.四边形ABCD是平行四边形,BC=AD=8.点E,F分别是BD,CD的中点,EF=BC=8=4.3
3、.(2017衢州中考)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A.B.C.D.【解题指南】根据折叠的性质得到AE=AB,E=B=90,易证RtAEFRtCDF,即可得到结论EF=DF;易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,在RtCDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6-x)2,解方程求出x.【解析】选B.矩形ABCD沿对角线AC对折,使ABC落在AEC的位置,AE=AB,E=B=90,又四边形ABCD为矩形,AB=CD,AE=DC,而AFE=CFD,在AEF与CDF中,AEFCDF(AA
4、S),EF=DF.四边形ABCD为矩形,AD=BC=6,CD=AB=4,RtAEFRtCDF,FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,在RtCDF中,CF2=CD2+DF2,即x2=42+(6-x)2,解得x=,则FD=6-x=.4.(2017北流市一模)如图,四边形ABCD是菱形,A(3,0),B(0,4),则点C的坐标为()导学号42684317A.(-5,4)B.(-5,5)C.(-4,4)D.(-4,3)【解析】选A.A(3,0),B(0,4),OA=3,OB=4,AB=5,四边形ABCD是菱形,BC=AD=AB=5,点C的坐标为(-5,4).5.顺次连接矩形ABCD各边中点
5、,所得四边形必定是()A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.如图,E,F,G,H为矩形各边的中点,连接AC,BD.根据三角形中位线定理,得EFAC,EF=AC,HGAC,HG=AC,EH=BD.EFHG,EF=HG,四边形EFGH为平行四边形.又AC=BD,EF=EH.四边形EFGH为菱形.6.(2017威海模拟)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD的中点,连接AE交BC的延长线于F点,P为BC上一点,当PAE=DAE时,AP的长为()A.4B.C.D.5【解析】选B.ADBC,DAE=F,又PAE=DAE,PAE=F,PA=PF.E为DC中点,DE=CE.
6、又AED=FEC,ADEFCE,CF=AD=4,设CP=x,PA=PF=x+4,BP=4-x,在直角ABP中,22+(4-x)2=(x+4)2,解得:x=,AP的长为.【变式训练】如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B处,若AE=2,DE=6,EFB=60,则矩形ABCD的面积是()A.12B.24C.12D.16【解析】选D.由两直线平行内错角相等,知DEF=EFB=60,AEF=AEF=120,AEB=60,AE=AE=2,求得AB=2,AB=2,矩形ABCD的面积为S=28=16.7.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于
7、点O,下列结论AE=BF;AEBF;AO=OE;SAOB=S四边形DEOF中,错误的有()导学号42684318A.1个B .2个C.3个D.4个【解析】选A.四边形ABCD是正方形,CD=AD.CE=DF,DE=AF,又AD=AB,BAF=D,ADEBAF,AE=BF,SADE=SBAF,DEA=AFB,EAD=FBA,SAOB=S四边形DEOF.ABF+AFB=DAE+DEA=90,AFB+EAF=90,AEBF一定成立.错误的结论是:AO=OE.二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2017徐州中考)ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,DE=7,则BC=_.【解析】D,E分别是A
8、BC的边AB和AC的中点,DE是ABC的中位线,DE=7,BC=2DE=14.答案:149.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=_.【解析】在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AO=1,AO=CO=BO=DO=1,BD=2.答案:210.(2017连云港中考)如图,在ABCD中,AEBC于点E,AFCD于点F.若EAF=56,则B=_.导学号42684319【解析】AEBC,AFCD,AEC=AFC=90,在四边形AECF中,C=360-EAF-AEC-AFC=360-56-90-90=124,在ABCD中,B=180-C=180-124=56.答案:5611
9、.(2017乌鲁木齐中考)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,AB=2,则菱形ABCD的面积为_.【解析】菱形ABCD,AD=AB,OD=OB,OA=OC,DAB=60,ABD为等边三角形,BD=AB=2,OD=1,在RtAOD中,根据勾股定理得:AO=,AC=2,则S菱形ABCD=ACBD=2.答案:212.(2017安顺中考)如图所示,正方形ABCD的边长为6,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为_.【解析】设BE与AC交于点P,连接BD,点B与D关于AC对称,PD=PB,PD+PE=PB+PE=BE最小.即P在AC与B
10、E的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度;正方形ABCD的边长为6,AB=6.又ABE是等边三角形,BE=AB=6.故所求最小值为6.答案:6三、解答题(共47分)13.(10分)如图,在ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分别为E,F.(1)求证:ADECBF.(2)求证:四边形BFDE为矩形.【证明】(1)DEAB,BFCD,AED=CFB=90,四边形ABCD为平行四边形,AD=BC,A=C,在ADE和CBF中,ADECBF(AAS).(2)四边形ABCD为平行四边形,CDAB,CDE+DEB=180,DEB=90,CDE=90,CDE=DEB=BFD=90,则四边形BFDE为矩形.1
11、4.(12分)(2017鄂州中考)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E.导学号42684320(1)求证:AFECDE.(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.【解析】(1)四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=D=90.由折叠,得AB=AF,B=F.AF=CD,F=D.又AEF=DEC,AFECDE.(2)四边形ABCD是矩形,ADBC.CAE=ACB.由折叠,得ACB=ACE,AF=AB=4,CF=BC=8.CAE=ACE.AE=CE.设AE=x,则CE=x,EF=8-x.在RtAEF中,由勾股定理得AE2=AF2+EF2.42+(8-x)2=x
12、2.解得x=5,即AE=5.S阴影=AEAB=54=10.15.(12分)(2017张家界中考)如图,在平行四边形ABCD中,边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,连接AF,BE.(1)求证:AGEBGF.(2)试判断四边形AFBE的形状,并说明理由.【解题指南】(1)由平行四边形的性质得出ADBC,得出AEG=BFG,由AAS证明AGEBGF即可.(2)由全等三角形的性质得出AE=BF,由ADBC,证出四边形AFBE是平行四边形,再根据EFAB,即可得出结论.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AEG=BFG,EF垂直平分AB,AG=BG,在AGE和BGF中,
13、AGEBGF(AAS).(2)四边形AFBE是菱形.理由如下:AGEBGF,AE=BF,ADBC,四边形AFBE是平行四边形,又EFAB,四边形AFBE是菱形.16.(13分)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.导学号42684321(1)如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形.(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,APB=CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想.(3)若改变(2)中的条件,使APB=CPD=90,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)【解析】(1)如图1中,连接BD.点E,H分别为边AB,DA的中点,EHBD,EH=BD,点F,G分别为边BC,CD的中点,FGBD,FG=BD,EHFG,EH=GF,中点四边形EFGH是平行四边形.(2)四边形EFGH是菱形.证明:如图2中,连接AC,BD.
