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1、最新卓越管理方案您 可自由编辑 最新卓越管理方案您 可自由编辑 授課目錄授課目錄 第1章導論第1章導論 品质管理品质知识品质统 计原理统计估计機率導論 第2章常用的機率分佈與統計分佈第2章常用的機率分佈與統計分佈 第3章描樣方法與描樣分佈第3章描樣方法與描樣分佈 第4章統計估計第4章統計估計 第5章統計檢定第5章統計檢定 第6章變異數分析第6章變異數分析 第7章相關分析與迴歸模式第7章相關分析與迴歸模式 第8章無母數統計檢定第8章無母數統計檢定 第9章類別資料分析-列聯表與卡方檢定第9章類別資料分析-列聯表與卡方檢定 當獲得母體的樣本資料時，可由各種機率分佈當中，選當獲得母體的樣本資料時，可由
2、各種機率分佈當中，選 擇出最接近該母體的機率分佈， 續之即估計該分佈之參數值，擇出最接近該母體的機率分佈， 續之即估計該分佈之參數值， 使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。 然即使隨機變數的機率分佈及其參數值已知，仍無法準 確的預測某特定事件一定或不一定發生，而只能預測此事件 然即使隨機變數的機率分佈及其參數值已知，仍無法準 確的預測某特定事件一定或不一定發生，而只能預測此事件 發生之機率為若干。此不確定性發生的原因主要是因為自然發生之機率為若干。此不確定性發生的原因主要是因為自然 現象有固有的隨機性(InherentRandomness)。
3、但不確定性的 其他因素則可能包括分佈模式選擇的不適切，或參數推定不 準確所致。雖然參數推定值的準確性可因樣本數的增加而提 高。但固有的變異性確可能因為樣本數增加而益形顯著。 現象有固有的隨機性(InherentRandomness)。但不確定性的 其他因素則可能包括分佈模式選擇的不適切，或參數推定不 準確所致。雖然參數推定值的準確性可因樣本數的增加而提 高。但固有的變異性確可能因為樣本數增加而益形顯著。 統計估計過程是由母體中抽取出數樣本，藉機率原理找 出適當的樣本統計量，再以此樣本統計量推估母體參數。統 計估計方法，一般分為點估計與區間估計兩種。 統計估計過程是由母體中抽取出數樣本，藉機率原
4、理找 出適當的樣本統計量，再以此樣本統計量推估母體參數。統 計估計方法，一般分為點估計與區間估計兩種。 6.1 點估計(PointEstimation)6.1 點估計(PointEstimation) 假設隨機變數 X 的母體機率密度函數 f(x|q)，其中 q 為未知的參數。為估計此未知的參數，則由母體中抽 取出數樣本，得到觀測值為 x 假設隨機變數 X 的母體機率密度函數 f(x|q)，其中 q 為未知的參數。為估計此未知的參數，則由母體中抽 取出數樣本，得到觀測值為 x1 1,x,x2 2,x,xn n。 利用點估計方法求出一估計式(Estimator)，以表示。 再將觀測值為 x 利用
5、點估計方法求出一估計式(Estimator)，以表示。 再將觀測值為 x1 1,x,x2 2,x,xn n代入估計式中得到一數值， 此數值稱之為參數 q 的估計值(Estimate)。 代入估計式中得到一數值， 此數值稱之為參數 q 的估計值(Estimate)。 常用方法：(1)最大概似法，(2)動差法。常用方法：(1)最大概似法，(2)動差法。 6.2.16.2.1最大概似法(MaximumLikelihoodMethod)最大概似法(MaximumLikelihoodMethod) 由 Fisher(1912)提出。假設隨機變數 X 的母體機率密由 Fisher(1912)提出。假設隨機
6、變數 X 的母體機率密 母體母體 f(x| ) 觀測值為觀測值為 x1, x2,xn 估計式估計式 參數的估計值參數的估計值 度函數 f(x|q)，其中 q 為未知的參數，為估計此未知 的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為 x 度函數 f(x|q)，其中 q 為未知的參數，為估計此未知 的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為 x1 1,x,x2 2,x,xn n。則概似函數定義為。則概似函數定義為 L(xL(x1 1,x,x2 2,x,xn n； q)=f(x； q)=f(x1 1,q)f(x,q)f(x2 2,q)f(x,q)f(xn n,q)(6.1),q)(6.1) 使概似
7、函數 L(x使概似函數 L(x1 1,x,x2 2,x,xn n；q)值為最大，則能求出估 計式，稱此為最大概似估計式 (MLE,MaximumLikelihoodMethod) ；q)值為最大，則能求出估 計式，稱此為最大概似估計式 (MLE,MaximumLikelihoodMethod) 範例、某公司新推出光碟燒錄機，其使用壽命服從指數分佈 f(x)=(1/q)e 範例、某公司新推出光碟燒錄機，其使用壽命服從指數分佈 f(x)=(1/q)e-x/q -x/q。為估計參數 q 以了解平均使用壽命， 隨機抽取出 11 台樣本做測試，測得其壽命結果如下：8， 10，13，14，19，21，27
8、，28，34，41，52(百小時)。 試以最大概似法估計 q 值。 。為估計參數 q 以了解平均使用壽命， 隨機抽取出 11 台樣本做測試，測得其壽命結果如下：8， 10，13，14，19，21，27，28，34，41，52(百小時)。 試以最大概似法估計 q 值。 SOL：L(xSOL：L(x1 1,x,x2 2,x,xn n；q)=f(x；q)=f(x1 1,q)f(x,q)f(x2 2,q)f(x,q)f(xn n,q),q) lnL(xlnL(x1 1,x,x2 2,x,xn n；q)=-nlnq-(1/q)；q)=-nlnq-(1/q)ni=1 ni=1x xi i d(lnL)/d
9、q=-n/q+(1/qd(lnL)/dq=-n/q+(1/q2 2)ni=1 ni=1x xi i=0 =0 Estimator(估計式)=Estimator(估計式)=ni=1 ni=1x xi i/n /n =(8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)/11=267/11=(8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)/11=267/11 範例、假設隨機變數 XN(m,s範例、假設隨機變數 XN(m,s2 2)，從其中隨機抽取出一組樣 本 x )，從其中隨機抽取出一組樣 本 x1 1,x,x2 2,x,xn n，試以最大概似法估計 m,s，試以最
10、大概似法估計 m,s2 2值。值。 SOL：L(xSOL：L(x1 1,x,x2 2,x,xn n； m,s ； m,s2 2)=f(x)=f(x1 1,m,s,m,s2 2)f(x)f(x2 2,m,s,m,s2 2)f(x)f(xn n,m,s,m,s2 2) ) lnL(xlnL(x1 1,x,x2 2,x,xn n；m,s；m,s2 2)=ln)=ln =-(n/2)ln(2p)-(n/2)ln(s=-(n/2)ln(2p)-(n/2)ln(s2 2)-(x)-(xi i-m)-m)2 2)/2s)/2s2 2 範例、台灣的地理位置處於東亞地震帶，地震活動較頻繁。 假設台灣發生有感地震
11、的次數服從卜氏分佈 Poi(m)。 台東氣象站為了要估計此參數 m，以了解台灣有感地震 情形，於是觀察過去一年來的每月資料，得到台灣有感 地震資料如下：9,7,12,14,3,11,7,10,4,6,8,10。試以 最大概似法求 m 之估計式，並由樣資料去估計 m 值。 範例、台灣的地理位置處於東亞地震帶，地震活動較頻繁。 假設台灣發生有感地震的次數服從卜氏分佈 Poi(m)。 台東氣象站為了要估計此參數 m，以了解台灣有感地震 情形，於是觀察過去一年來的每月資料，得到台灣有感 地震資料如下：9,7,12,14,3,11,7,10,4,6,8,10。試以 最大概似法求 m 之估計式，並由樣資料
12、去估計 m 值。 SOL：L(xSOL：L(x1 1,x,x2 2,x,xn n；m)=f(x；m)=f(x1 1,m)f(x,m)f(x2 2,m)f(x,m)f(xn n,m),m) lnL(xlnL(x1 1,x,x2 2,x,xn n；m)=-nm+；m)=-nm+ni=1 ni=1x xi ilnm-lnP lnm-lnPni=1 ni=1x xi i! ! d(lnL)/dm=-n+(d(lnL)/dm=-n+(ni=1 ni=1x xi i)/m=0 )/m=0 Estimator(估計式)=Estimator(估計式)=ni=1 ni=1x xi i/n /n =(9+7+12
13、+14+3+11+7+10+4+6+8+10)/12=101/12=8.42=(9+7+12+14+3+11+7+10+4+6+8+10)/12=101/12=8.42 6.2.2 動差法(MomentMethod)6.2.2 動差法(MomentMethod) 由 Pearson(1894)提出。 假設隨機變數 X 的 k 次動差為 m 由 Pearson(1894)提出。 假設隨機變數 X 的 k 次動差為 mk k=EX=EXk k，則樣本動差定義為，則樣本動差定義為 即為對 k 次動差 m即為對 k 次動差 mk k點估計。點估計。 對母體平均值 m、變異數 s對母體平均值 m、變異數
14、 s2 2做點估計做點估計 一次動差(k=1)一次動差(k=1) 二次動差(k=2)二次動差(k=2) 對常態分配 m、s對常態分配 m、s2 2而言，用動差法估計與用最大概似法 估計的結果是一樣的。但對其他分配，其結果有異。 而言，用動差法估計與用最大概似法 估計的結果是一樣的。但對其他分配，其結果有異。 範例、 假設隨機變數 XU(0,q)代表致遠校門口學生等候計程 車時間所滿足之分佈，茲從學生等候計程車時間，隨機 抽取出 5 樣本：0.5、1、2、3.5、8(分鐘)，試以動差法 估計 q 值。 範例、 假設隨機變數 XU(0,q)代表致遠校門口學生等候計程 車時間所滿足之分佈，茲從學生等
15、候計程車時間，隨機 抽取出 5 樣本：0.5、1、2、3.5、8(分鐘)，試以動差法 估計 q 值。 SOL：均勻分佈以 XU(a,b)表示，其期望值與變異數為：SOL：均勻分佈以 XU(a,b)表示，其期望值與變異數為： Ex=(a+b)/2Varx=(b-a)Ex=(a+b)/2Varx=(b-a)2 2/12/12 XU(0,q)Ex=q/2m=q/2q=2mXU(0,q)Ex=q/2m=q/2q=2m =(2/n)=(2/n)ni=1 ni=1x xi i=2=2(0.5+1+2+3.5+8)/5=6(動差法) =2=2(0.5+1+2+3.5+8)/5=6(動差法) 若用最大概似法估
16、計 U(0,q)，易得 q 之最大概似法估計 式=max 若用最大概似法估計 U(0,q)，易得 q 之最大概似法估計 式=max1in 1inx xi i=0.5、1、2、3.5、8=8 =0.5、1、2、3.5、8=8 6.2 如何評量點估計的優良性6.2 如何評量點估計的優良性 同一未知參數的估計式有很多種，何者最佳?統計學定義三 個準則：(1)不偏(2)有效性(3)最小變異數。 同一未知參數的估計式有很多種，何者最佳?統計學定義三 個準則：(1)不偏(2)有效性(3)最小變異數。 定義：不偏估計式(UnbiasedEstimator)定義：不偏估計式(UnbiasedEstimator) 設未知參數 q 的估計式為，可視為一隨機變數。因此，隨機 變數會服從某一機率分佈，當此分佈的期望值 E正好等於 未知參數時，即 E=q，稱為 q 的不偏估計式。 設未知參數 q 的估計式為，可視為一隨機變數。因此，隨機 變數會服從某一機率分佈，當此分佈的期望值 E正好等於 未知參數時，即 E=q，稱為 q 的不
