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1、1.如图，直线与轴，轴分别相交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一交点为，顶点为，且对称轴是直线（1）求点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结请问在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 直线与轴相交于点，当时，点的坐标为 又抛物线过轴上的两点，且对称轴为，根据抛物线的对称性，点的坐标为 （2）过点，易知， 又抛物线过点， 解得 （3）连结，由，得，设抛物线的对称轴交轴于点，在中，由点易得，在等腰直角三角形中，由勾股定理，得假设在轴上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似当，时，即，又，点与点重合，的坐标是 当，时，即，的坐标是
2、点不可能在点右侧的轴上综上所述，在轴上存在两点，能使得以点为顶点的三角形与相似。2.（河南卷）二次函数的图象如图所示，过轴上一点的直线与抛物线交于，两点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，（1）当点的横坐标为时，求点的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点，作轴于，轴于，在上是否存在点，使为直角若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点在抛物线上运动时（点与点不重合），求的值 解 （1）根据题意，设点的坐标为，其中点的横坐标为， 轴，轴，即解得（舍去）， （2）存在连结，由（1），设，则轴，轴，解得经检验均为原方程的解点的坐标为或 （3）根据题意，设，不妨设，由（1）知，则或化简，得
3、， 3. (湖北湛江课改卷）已知抛物线与轴相交于点，且是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点（1）求的值（2）分别求出直线和的解析式；（3）若动直线与线段分别相交于两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；1 2 3 4321xy 解 （1）由，得，把两点的坐标分别代入联立求解，得 （2）由（1）可得，当时，设，把两点坐标分别代入，联立求得直线的解析式为 同理可求得直线的解析式是 （3）假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为当为腰时，分别过点作轴于，作轴于，如图，则和都是等腰直角三角形，OxyDEF，即解得 点的纵坐标是，点在直线上，解得，同理可求 当为底边时
4、，OxyDEFG过的中点作轴于点，如图，则，由，得，即，解得 同1方法求得， 结合图形可知，是，也满足条件综上所述，满足条件的点共有3个，即 4.在矩形中，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系然后将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点上，则和点依次落在第二象限的点上和轴的点上（如图）（1）求经过三点的二次函数解析式；（2）设直线与（1）的二次函数图象相交于另一点，试求四边形的周长（3）设为（1）的二次函数图象上的一点，求点的坐标（1）解：由题意可知， ， 设经过三点的二次函数解析式是把代入之，求得 3分所求的二次函数解析式是： （2）解：由题意可知，四边形为矩形，且 直线与二次函数图象的交点的坐标为， 与与关于抛物线的对称轴对称， 四边形的周长 （3）设交轴于，即，于是 设直线的解析式为把，代入之，得解得 组成方程组解得或（此组数为点坐标）所求的点坐标为
