《【福建】高考数学复习方略：第8章《平面解析几何》第8节《曲线与方程》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【福建】高考数学复习方略：第8章《平面解析几何》第8节《曲线与方程》（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 曲线与方程,1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实 数解建立了如下的关系: 点在曲线上点的坐标满足方程.即： (1)曲线上的点的坐标都是_； (2)以这个方程的解为坐标的点都是_. 此时方程叫_，曲线叫_.,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,【即时应用】 (1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？ 提示:不一定是. 因为只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部
2、分，而非整个方程的曲线.,(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？ 提示:不一定是. 因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.,(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_. 【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线. 答案:两条直线,2.圆锥曲线的离心率与准线,=,3.圆锥曲线的统一定义 任意给定常数e(e0)、点F和直线l(F l)，
3、设动点P到_的距 离和到_的距离之比等于e，则P的轨迹是圆锥曲线.其中F是这 条圆锥曲线的_，l称为它的_. 当e1时，P的轨迹是_，当e=1时是_，当e1时是 _.,F,l,焦点,准线,椭圆,抛物线,双曲线,4.求曲线方程的基本步骤,【即时应用】 (1)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足 =x2+1， 则点P的轨迹方程是_. (2)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3, 则顶点A的轨迹方程为_.,【解析】(1)由题意得 =(-2-x,-y), =(-3-x,-y)， 所以 =(-2-x,-y)(-3-x,-y), 又因为 =x2+1
4、, 所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1, 化简得：y2+5x+5=0.,(2)设点A(x,y)，因为B(0,0)， 所以AB的中点D( ), 又C(5,0),|CD|=3，所以 化简得：(x-10)2+y2=36. 又ABC中的三点A、B、C不能共线， 所以去掉点(4,0)和(16,0). 答案:(1)y2+5x+5=0 (2)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0),热点考向 1 直接法求轨迹方程 【方法点睛】 1.直接法 如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.,2.运用直接法应注意的问题 (1)在用直
5、接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的. (2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.,【例1】(1)已知点M、N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足 =6，求点P的轨迹方程. (2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆 C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程. 【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标， 依据 =6得出轨迹方程； (2)可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比 等于常数(0)即可得出方程.,【规范解答】(1)
6、以点M、N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标 原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)、N(3,0),设P(x,y)， 则 =(-3-x,-y)， =(3-x,-y), =(-3-x,-y) (3-x,-y)， 又因为 =6, 所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6， 化简整理得：x2+y2=15.,(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为： P=M|MN|=|MQ|，因为圆C的半径|CN|=1, 所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1， 设点M的坐标为M(x,y)，则 化简整理得： (2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互动探究】本例(2)中
7、的条件不变，求动点M的轨迹. 【解析】由例题解析可知：曲线的方程为： (2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0， 因为0,所以当=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线； 当1时，方程化为： 它表示圆心为 ( ,0),半径为 的圆.,【反思感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程； 2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.,【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于 原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 ，求 动点P的轨迹方程. 【解析】因为点B与点A(-1，1)关于
8、原点O对称， 所以点B的坐标为(1，-1)， 设点P的坐标为(x,y)， 由题意得 化简得x2+3y2=4(x1)， 故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).,热点考向 2 定义法求轨迹方程 【方法点睛】 定义法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.,【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.,【例2】(1)已知圆C:x2+y2+6x-9
9、1=0及圆内一点P(3,0),则过点P 且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为_. (2)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切， 求动圆圆心P的轨迹方程.,【解题指南】(1)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系|CM|=10-r(r为动圆M的半径)，再注意|PM|=r，从而有|CM|+|PM|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.,【规范解答】(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=
10、0的方程可化为： (x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆圆 心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所以 |CM|=10-r，又因为动圆过点P，所以|PM|=r，因此|CM|+|PM| =106=|CP|，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴长为 10，焦距等于6，所以椭圆方程为： ,即所求轨迹方程. 答案:,(2)设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r， 因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3， 又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1， 因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的 一支(右支).
11、 由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为 (x1).,【互动探究】在本例(2)中： 若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？ 若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？ 若把圆C1的半径改为1，则动圆圆心P的轨迹是什么？,【解析】因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2内切，所以|C2P|=r-1； 因此|C1P|-|C2P|=4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的 右支. 因为动圆P与圆C2外切，所以|C2P
12、|=r+1，又动圆P与圆C1内 切，所以|C1P|=r-3， 因此|C1P|-|C2P|=-4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的 左支.,因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+1，又动圆P与圆C2 外切，所以|C2P|=r+1， 因此|C1P|=|C2P|，所以点P在C1C2的垂直平分线上，即所求轨迹 为两定圆圆心连线的垂直平分线.,【反思感悟】1.本例两个题目都是求轨迹方程，它们的共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程； 2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.,【变式备选】已知
13、A( ,0)，B是圆F：(x- )2+y2=4(F为圆心) 上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方 程. 【解析】如图，连接PA.,依题意可知|PA|=|PB|， |PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2, P点轨迹为以 为焦点，长半轴长为1的椭圆. 其方程可设为 又c= ,a=1, b2=a2-c2= . 故P点的轨迹方程为,热点考向 3 相关点(代入)法求轨迹方程 【方法点睛】 相关点(代入)法 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将
14、x、y表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.,【提醒】用代入法求轨迹方程是将x、y表示成x、y的式子，同时注意x、y的限制条件.,【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且 ，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x,0)， P(0,y),可由已知条件得出x、y与x、y之间的关系，同时 得到x、y满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.,【规范解答】设M(x,0),P(0,y)，N(x,y), 由 ,得(x-x,y)=2(-x,y), 所以 ，解得 又因为 所以(x,-y)(1,-y)=0,
15、即x+y2=0, 所以-x+( )2=0，即y2=4x. 因此所求的轨迹方程为y2=4x.,【反思感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x、y之间的关系式及x、y与x、y之间的关系； 2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.,【变式训练】设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑 动，且|AB|=5， ，则点M的轨迹方程为( ),【解析】选A.设M(x,y)，A(x0,0),B(0,y0), 由 ,得 (x,y)= (x0,0)+ (0,y0), 则 ,解得 由|AB|=5，得 化简得 ，故选A.,1.(2013三明模拟
16、)已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) (A) (B)4 (C)8 (D)9,【解析】选B.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|，设点P的坐标为(x,y), 则(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2，即(x-2)2+y2=4. 所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆, 所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4.故选B.,2.(2013厦门模拟)椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭 圆中心到其准线的距离是( ) 【解析】选B.a=2,b=1, 中心到其准线的距离为 .,3.(2012湖北高考改编)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直
