《【福建】高考数学复习方略：第6章《不等式、推理与证明》第2节《一元二次不等式及其解法》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【福建】高考数学复习方略：第6章《不等式、推理与证明》第2节《一元二次不等式及其解法》（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 一元二次不等式及其解法,1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表,x|xx2,x|x ,x|x1xx2,R,【即时应用】 (1)不等式x2-3x+20的解集为_. (2)设二次不等式ax2+bx+10的解集为x|-1x ,则ab的 值为_. (3)函数 的定义域是_. 【解析】(1)原不等式等价于(x-1)(x-2)0, 即1x2.,(2)由题意可知a0,且-1, 是方程ax2+bx+1=0的两个根. 故 (3)由x2+x-120,即(x+4)(x-3)0, 得x-4或x3. 答案：(1)(1,2) (2)6 (3)(-,-43,+),2.一元二次不等式ax2+bx+
2、c0(a0)的求解过程用程序框图表示为,x|xx2或xx1,R,【即时应用】 思考：上述不等式中a0,若a0时解集的情况又将如何？ 提示：若a0,则一般先将不等式进行转化，使x2的系数为正后 再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，0时解集 为,0时解集为x|x1xx2.,热点考向 1 一元二次不等式的解法 【方法点睛】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式； (3)当0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.,【提醒】也可以这样解一元二次不等式，首先将二次项系数转化为正数，再看能否
3、因式分解.若能，则可得相应方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间；若不能，当0时，利用求根公式求解相应方程的根，而后写出解集.,【例1】(1)(2013大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b)， 如果不等式f(x)0的解集是(-1,3)，则不等式f(-2x)0的解 集是( ) (A)(-,- )( ,+) (B)(- , ) (C)(-,- )( ,+) (D)(- , ) (2)(2012湖南高考)不等式x2-5x+60的解集为 .,【规范解答】(1)选A.不等式f(x)0， 即(ax-1)(x+b)0，其解集是(-1，3)， 所以 于是f(x)=(-x-1)(x-3)， 所以不
4、等式f(-2x) 或x- .,(2)不等式可化为(x-2)(x-3)0， 因此2x3， 即不等式的解集为x|2x3. 答案:x|2x3,【变式训练】解不等式12x2-axa2(aR). 【解析】原不等式可化为12x2-ax-a20 (4x+a)(3x-a)0, 令(4x+a)(3x-a)=0 得 a0时 此时不等式等价于,a=0时,不等式等价于x20 x0. a0时 此时不等式等价于 综上所述,当a0时,不等式的解集为 当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+); 当a0时,不等式的解集为,【变式备选】解下列不等式： (1)10 x-125x2 (2)(1-ax)21 【解析】(1)原不等
5、式等价于25x2-10 x+10(5x-1)20,只 有当5x-1=0，即x= 时，不等式成立. 故不等式的解集为x|x= . (2)由(1-ax)21得 a2x2-2ax+11,即ax(ax-2)0.,当a=0时，不等式转化为00, 即x(x- )0时，原不等式可化为x(ax-2)0, 原不等式的解集为x|00时，原不等式的解集为x|0x .,热点考向 2 一元二次不等式恒成立问题 【方法点睛】 恒成立问题的情况分析 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图
6、象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.,(3)一元二次不等式恒成立的条件 ax2+bx+c0(a0)在R上恒成立的充要条件是： a0且b2-4ac0. ax2+bx+c0(a0)在R上恒成立的充要条件是：a0且b2-4ac0.,【例2】已知不等式mx2-2x-m+10， (1)若对任意实数x不等式恒成立,求m的取值范围. (2)若对一切m-2,2不等式恒成立,求x的取值范围. 【解题指南】(1)由于二次项系数含有字母,所以首先讨论m的情况,而后结合二次函数图象求解. (2)变换主元将其看成关于m的一元一次不等式,利用其定义范围-2,2求参
7、数x的取值范围.,【规范解答】(1)不等式mx2-2x-m+10恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 当m=0时,不等式变为1-2x0，对任意实数x不恒成立,故m0不 满足； 当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向 下且方程mx2-2x-m+10无解,即 ,则m无解. 综上可知不存在这样的m,使不等式恒成立.,(2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 当x2-1=0时，即x=1,检验得x=1时符合题意, 当x21时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知该直线当-2m2时在x轴下方, ,解,得 解,得
8、 由,得 且x1, 综上得x的取值范围为x| .,【反思感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路：一是转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组)，解不等式(组)，求得参数范围；二是分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.,【变式训练】已知f(x)=x2-2ax+2(aR),当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围. 【解析】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为直线x=a. 当a(-,-1)时,f(x)在-1,+)上单调递增,f(x)min= f(-1)=2a+3. 要使f(x)a恒成立,只需f(x
9、)mina,即2a+3a,解得-3a -1.,当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2-a2a,解得-1a1. 综上所述,a的取值范围为-3,1. 方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a, 由已知得x2-2ax+2-a0在-1,+)上恒成立, 即=4a2-4(2-a)0, 或 解得-3a1,即实数a的取值范围是-3,1.,热点考向 3 一元二次不等式的实际应用 【方法点睛】 解不等式应用题的一般步骤,【例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一
10、个重要因素. 在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？,【解题指南】由题意只需利用刹车距离与车速的关系，与实际刹车距离构建不等关系求解即可. 【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10 x-1 2000, 解得x30,或x-40(不合实际意义,舍去).,这表明甲车的车
11、速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过 12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x210, 即x2+10 x-2 0000, 解得x40,或x-50(不合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.,【反思感悟】不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题,其关键是正确确定不等关系.,【变式训练】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每销售收入100元纳税8元(称税率为8个百分点，即8
12、%).为了减轻农民负担，决定降低税率.根据市场规律，税率降低x(x0)个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.,【解析】设税率调低后的税收总收入为y元，则 y=2 400m(1+2x%)(8-x)% =- m(x2+42x-400). 由题意知，0x8,要使税收总收入不低于原计划的78%，有 y2 400m8%78%, 整理得x2+42x-880, 解得-44x2,又0x8,0x2, 所以x的取值范围是(0,2.,【变式备选】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下 面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x
13、) 万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1 万元(总成本=固定成本+生产成本)，销售收入R(x)满足 假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多 少？,【解析】依题意得G(x)=x+2,设利润函数为f(x),则f(x)=R(x)- G(x)，所以 (1)要使工厂有盈利，则有f(x)0,因为 或5x8.21x5或5x8.21x8.2. 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的 范围内.,(2)0 x5时，f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,
14、 故当x=4时，f(x)有最大值3.6. 而当x5时，f(x)8.2-5=3.2, 所以当工厂生产400台产品时，盈利最大， 又x=4时， =2.4(万元/百台) =240(元/台). 故此时每台产品的售价为240元.,1.(2012重庆高考)不等式 0的解集为( ) (A)(- ,1 (B)- ,1 (C)(-,- )1,+) (D)(-,- 1,+) 【解析】选A.不等式 0等价于,2.(2013龙岩模拟)设集合Mx|(x+3)(x-2)0, N=x|1x3,则MN=( ) (A)1,2) (B)1,2 (C)(2,3 (D)2,3 【解析】选A.由集合Mx|(x+3)(x-2)0=x|-
15、3x2,集合Nx|1x3,MN=x|1x2,即为1,2).,3.(2013厦门模拟)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-4，1)，则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c0的解集为( ) (A)(- ,1) (B)(-,-1)( ,+) (C)(-1,4) (D)(-,-2)(1,+),【解析】选A.由不等式ax2+bx+c0的解集为(-4，1)知a0，即 3x2+x-40，解得 x1，故选A.,4.(2011福建高考)若关于x的方程x2+mx+10有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ) (A)(-1,1) (B)(-2,2) (C)(-,-2)(2,+) (D)(-,-1)(1,+) 【解析】选C.方程x2+mx+10有两个不相等的实数根,=m2-40,m2或m-2.,5.(2012江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6)，则实数c的值为 【解析】由题意a2-4b=0，所以f(x)c, 可换为x2+ax+ -c0, 答案：9,
