《【福建】高考数学复习方略：第5章《数列》第5节《数列的综合应用》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【福建】高考数学复习方略：第5章《数列》第5节《数列的综合应用》（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 数列的综合应用,数列的综合应用 (1)解答数列应用题的步骤 审题仔细阅读材料，认真理解题意. 建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. 求解求出该问题的数学解. 还原将所求结果还原到原实际问题中.,具体解题步骤用框图表示如下：,(2)数列应用题常见模型 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1
2、的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.,【即时应用】 (1)思考:银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示:单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a(1+rn)，属于等差模型.复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a(1+r)n，属于等比模型.,(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用 零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期 1年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月 利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 _元. 【解析】由题意知，小王存款到期利息为
3、12ar+11ar+10ar+ +2ar+ar= =78ar. 答案:78ar,(3)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒 的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样 的病毒(假设病毒不繁殖)，则细菌将病毒全部杀死至少需要 _秒钟. 【解析】设需要n秒钟， 则1+21+22+2n-1100, ,n7. 答案:7,热点考向 1 数列的实际应用 【方法点睛】 1.数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化.然后用等差、等比数列知
4、识求解.这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力.,2.等比数列中处理分期付款问题的注意事项 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息). (2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系.,【提醒】解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是要弄清项数.,【例1】(2012湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年
5、年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式. (2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,【解题指南】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求出a1,a2，以及建立an+1与an间的递推关系式 (2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列an的通项公式an，令am=
6、4 000即可求出d,【规范解答】(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d =3 000-d， a2=a1(1+50%)-d= an+1=an(1+50%)-d=,(2)方法一：由(1)得，当n2时， an= = = =,整理得an= = 由题意，am=4 000, 解得 故该企业每年上缴资金d的值为 时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.,方法二：由于an+1= 设an+1+= 化为 与 比较可 得=-2d， 故an+1-2d= 这说明数列an-2d是以a1-2d=3 000-3d 为首项, 为公比的等比数列， 所以an-2d=(3 000-3d) 即an=(3 00
7、0-3d) (下同方法一),【变式训练】流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制.从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人.问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.,【解析】设从11月1日起第n(nN*,1n30)日感染此病毒的 新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日
8、新患者人数依 次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50， 前n日的患者总人数即该数列的前n项之和 从第n+1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为20+(n-1)50-30= 50n-60,公差为-30，项数为(30-n),(30-n)日的患者总人数为 T30-n=(30-n)(50n-60)+ (-30) =(30-n)(65n-495)=-65n2+2 445n-14 850. 依题意,得Sn+T30-n=8 670，即(25n2-5n)+(-65n2+2 445n- 14 850)=8 670. 化简得n2-61n+588=0
9、，解得n=12或n=49.,1n30，n=12. 第12日的新患者人数为20+(12-1)50=570. 11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的 新患者人数为570人.,【变式备选】气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知 这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费 为 元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算 是指使用这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( ) (A)600天 (B)800天 (C)1 000天 (D)1 200天,【解析】选B.由第n天的维修保养费为 元(nN*)，可以得 出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立
10、 时相应n的值. 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时，取得最小值，此时n=800.,热点考向 2 数列与函数、不等式的综合应用 【方法点睛】 1.数列与函数的综合问题 (1)已知函数条件，解决数列问题，解决此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.,2.数列与不等式的综合问题 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解. (2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明.,【例2】已知函数f(x)= ,数
11、列an满足a1=1, an+1=f( ),nN*, (1)求数列an的通项公式； (2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1,求Tn； (3)令 (n2),b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn 对一切nN*成立，求最小正整数m.,【解题指南】(1)可由已知得an+1与an的关系，从而获解； (2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)、(3)问. 【规范解答】(1) an是以 为公差的等差数列. 又a1=1,(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1)
12、= (a2+a4+a2n) (3)当n2时， 又,Sn=b1+b2+bn 对一切nN*成立. 递增，且 ,即m2 012. 最小正整数m=2 012.,【反思感悟】1.本题中在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列的单调性. 2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选.,【变式训练】(2012漳州模拟)已知数列an,bn，其中 ，数列an的前n项和Sn=n2an(nN*)，数列bn满足 b1=
13、2,bn+1=2bn. (1)求数列an,bn的通项公式； (2)是否存在自然数m，使得对于任意nN*,n2，有 恒成立？若存在，求出m的最小值.,【解析】(1)因为Sn=n2an(nN*), 当n2时，Sn-1=(n-1)2an-1. 所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1. 所以(n+1)an=(n-1)an-1. 即 又 ,所以 当n=1时，上式也成立，故 因为b1=2,bn+1=2bn. 所以bn是首项为2，公比为2的等比数列，故bn=2n.,(2)存在.由(1)知，bn=2n. 则 假设存在自然数m，使得对于任意nN*,n2,有 恒成立, 即 恒成立.,由 ，解得m
14、16. 所以存在自然数m，使得对于任意nN*,n2,有 恒成立.此时m的最小值为16.,等差、等比数列的综合应用 【方法点睛】 解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题，善于联系. (2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来. (3)对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和，分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法.,【例】已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的 前n项和T
15、n. 【解题指南】(1)列出关于a1,d的方程组，求出a1,d. (2)先求 ，再利用(1)中所得an求bn,最后用错位相减法求Tn.,【规范解答】(1)依题意得 解得 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1.,(2) =3n-1,bn=an3n-1=(2n+1)3n-1, Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1 3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n 则-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n =3+2 -(2n+1)3n =-2n3n, Tn=n3n.,【反思感悟】1.解答本题(1)时，列出关于a1,d的
16、方程组是关键，求解本题(2)时，求出bn是关键. 2.利用等比数列前n项和公式时，注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解.,【变式训练】(2012厦门模拟)设Sn为数列an的前n项和，对 任意的nN*，都有Sn=(m+1)-man(m为常数，且m0). (1)求证：数列an是等比数列； (2)设数列an的公比q=f(m)，数列bn满足b1=2a1,bn= f(bn-1),(n2,nN*)，求数列bn的通项公式； (3)在满足(2)的条件下，求数列 的前n项和Tn.,【解析】(1)当n=1时，a1=S1=(m+1)-ma1, 解得a1=1. 当n2时，an=Sn-Sn-1=man-1-man, 即(1+m)an=man-1. 又m为常数，且m0, (n2). 数列an是首项为1，公比为 的等比数列.,(2)由(1)得，q=
