《{精品}高三数学一轮复习必备精品28：数列概念及等差数列 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部 欢》由会员分享，可在线阅读，更多相关《{精品}高三数学一轮复习必备精品28：数列概念及等差数列 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部 欢（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 28 讲讲 数列概念及等差数列数列概念及等差数列 备注：备注：【高三数学一高三数学一轮轮复复习习必必备备精品精品共共 42 讲讲 全部免全部免费费 欢欢迎下迎下载载】 一一 【课标要求课标要求】 1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表 示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊函数； 2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式； 3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体 会等差数列与一次函数的关系 二二 【命题走向命题走向】 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况
2、下都是一至二个客观性题目和一个解答 题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项 和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高 预测 2010 年高考： 1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生 活中的实际问题的解答题； 2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题， 还可能涉及部分考察证明的推理题 三三 【要点精讲要点精讲】 1数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 n a，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首
3、项）， 在第二个位置的叫第 2 项，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作 n a； 数列的一般形式： 1 a ， 2 a， 3 a， n a，简记作 n a。 （2）通项公式的定义：如果数列 n a的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么 这个公式就叫这个数列的通项公式 例如，数列的通项公式是 n a= n（n7，nN），数列的通项公式是 n a= 1 n （nN）。 说明： n a表示数列， n a表示数列中的第n项， n a= f n表示数列的通项公式； 同 一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， n a= ( 1)n= 1,21( ) 1,2 nk kZ nk ； 不
4、是每个 数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函 数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n 当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n ，通常用 n a来代替 f n，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项 之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数
5、列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列 n a的第 1 项（或前几项），且任一项 n a与它的前一项 1n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式 2等差数列 （1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表 示。用递推公式表示为 1 (2) nn aad n 或 1 (1) nn aad n 。 （2）等差数列的通项公式： 1 (1) n aand； 说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d 为常
6、数列， 0d 为递减数列。 （3）等差中项的概念： 定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 2 ab A a，A，b成等差数列 2 ab A 。 （4）等差数列的前n和的求和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：数列概念 (2009 安徽卷文）已知为等差数列，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .选 B。 【答案】B 2.根据数列前 4 项，写出它的通
7、项公式： （1）1，3，5，7； （2） 2 21 2 ， 2 31 3 ， 2 41 4 ， 2 51 5 ； （3） 1 1*2 ， 1 2*3 ， 1 3*4 ， 1 4*5 。 解析：（1） n a=21n； （2） n a= 2 (1)1 1 n n ； （3） n a= ( 1) (1) n n n 。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这 对考生的归纳推理能力有较高的要求。 例 2数列 n a中，已知 2 1( ) 3 n nn anN ， （1）写出 10 a ， 1n a ， 2 n a ； （2） 2 79 3 是否是数列中的项？若是
8、，是第几项？ 解析：（1） 2 1( ) 3 n nn anN ， 10 a 2 1010 1109 33 ， 1n a 2 2 11131 33 nnnn ， 2 n a 2 22 42 1 1 33 nn nn ； （2）令 2 79 3 2 1 3 nn ，解方程得15,16nn 或， nN，15n ， 即 2 79 3 为该数列的第 15 项。 点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属 题型 2：数列的递推公式 例 3如图,一粒子在区域 ( , )|0,0 x yxy 上运动,在第一秒内它从原点运动到点 1(0,1) B,接着按 图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上
9、运动，且 每秒移动一个单位长度。 （1）设粒子从原点到达点 nnn ABC、时， 所经过的时间分别为 nnn a 、b 、c，试写出 nnn a、b 、c 的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过 2004 秒后，它所处的坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头。 解析：(1) 由图形可设 12 (1,0),(2,0),( ,0) n AAA n，当粒子从原点到达 n A时，明显有 1 3,a 21 1,aa 311 123 4,aaa 43 1,
10、aa 533 205 4,aaa 65 1,aa 2123 (21) 4, nn aan 221 1, nn aa 211 435(21) n aan 2 41n , 2 221 14 nn aan 。 2 2121 2(21)441 nn bannn , 2 22 2 244 nn bannn 。 0 C5 C4 C3 C2 B5 B4 B3 B2 A6A5A4 A3A2 C1B1 A1x y 22 2121 (21)42(21)(21) nn cbnnnnn , 22 22 242(2 )(2 ) nn cannnnn, 即 2 n cnn。 （2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44
11、)P时所需的时间是到达点 44 C 所经过得时间 44 c 再加（4416）28 秒， 所以 2 4444282008t 秒。 （3）由 2 n cnn2004，解得 18017 1 2 n ，取最大得 n=44， 经计算，得 44 c 19802004，从而粒子从原点开始运动，经过 1980 秒后到达点 44 C ，再 向左运行 24 秒所到达的点的坐标为（20，44） 。 点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式， 这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。 例 4 （1）已知数列 n a适合： 1 1a ， 1n a 2 2 n n a a
12、，写出前五项并写出其通项公式； （2）用上面的数列 n a，通过等式 1nnn baa 构造新数列 n b，写出 n b，并写出 n b的前 5 项 解：（1） 1 1a ， 2 2 3 a ， 3 2 4 a ， 4 2 5 a ， 5 2 6 a ， 2 1 n a n ； （2） 222 12(1)(2) n b nnnn ， 1 1 3 b ， 2 1 6 b ， 3 1 10 b ， 4 1 15 b ， 5 1 21 b 点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一 种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。 题型 3：数列的应用 例 5湖南省 2
13、008 届十二校联考第一次考试 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常 数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差 (1)设数列 n a是公方差为p的等方差数列，求 n a和 1n a (2 )nnN，的关系式； (2)若数列 n a既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； (3) 设数列 n a是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将 12310 aaaa，这种顺 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数 (1)解：解：由等方差数列的定义可知： 22 1nn aap (2 )nnN，5 分 (2)证法一：证法一： n a是等差数列，
14、设公差为d，则 11nnnn aaaad 又 n a是等方差数列， 2222 11nnnn aaaa 7 分 1111 ()()()() nnnnnnnn aaaaaaaa 即 2 11 ()20 nnnn d aaaad ， 10 分 0d ，即 n a是常数列 11 分 证法二：证法二： n a是等差数列，设公差为d，则 1nn aad 1 又 n a是等方差数列，设公方差为p，则 22 1nn aap 7 分 2 代入得， 2 20 n ddap 1 2 3 同理有， 2 1 20 n ddap 4 两式相减得：即 2 1 2 ()20 nn d aad ，10 分 0d ，即 n a是
15、常数列11 分 证法三：证法三：（接证法二、 ） 1 2 由、得出：若0d ，则 n a是常数列 8 分 1 2 若0d ， 则 22 n dp a d 是常数, 0d ，矛盾10 分 n a是常数列 11 分 (3)依题意， 22 1 2 nn aa (2 )nnN， 2 1 4a ， 2 42(1)22 n ann 22 n an，或22 n an ， 13 分 即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是 9 2512种， 故，这种密码共512种16 分 。 点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。 例 6在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内 答案：140 85 解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规 律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了 3 毫米、2 毫米，照此规律，60 岁时的收缩压和 舒张压分别为 140；85. 点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实
