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1、第 1 页（共 20 页） 2016 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题一、选择题 1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，xA，则 AB=（） A1 B4C1，3D1，4 2（5 分） 设变量 x， y 满足约束条件， 则目标函数 z=2x+5y 的最小值为 （） A4B6C10D17 3 （5 分）在ABC 中，若 AB=，BC=3，C=120，则 AC=（） A1B2C3D4 4 （5 分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（） A2B4C6D8 5（5 分） 设an是首项为正数的等比数列， 公比为 q， 则 “
2、q0”是 “对任意的正整数 n， a2n1+a2n 0”的（） A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知双曲线=1（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的 方程为（） A=1B=1C=1D=1 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连 接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则的值为（） ABCD 8 （5 分） 已知函数 f（x） =（a0
3、， 且 a1） 在 R 上单调递减， 且关于 x 的方程|f（x）|=2x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（） A （0，B， C，D，） 二、填空题二、填空题 9 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若（1+i） （1bi）=a，则的值为 10 （5 分） （x2）8的展开式中 x7的系数为（用数字作答） 11 （5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位 ： m） ， 则该四棱锥的体积为 m3 12 （5 分）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线 段 CE 的长为 13 （5 分）已
4、知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数 a 满足 f（2|a1|）f（） ，则 a 的取值范围是 第 3 页（共 20 页） 14 （5 分） 设抛物线（t 为参数， p0） 的焦点为 F， 准线为 l， 过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（p，0） ，AF 与 BC 相交于点 E若|CF|=2|AF|，且ACE 的面积为 3，则 p 的值为 三、计算题三、计算题 15 （13 分）已知函数 f（x）=4tanxsin（x）cos（x） （1）求 f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论 f（x）在区间，上的单调性 16 （13 分）某小
5、组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 （1）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期 望 17（13 分） 如图， 正方形 ABCD 的中心为 O， 四边形 OBEF 为矩形， 平面 OBEF平面 ABCD， 点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2 （1）求证：EG平面 ADF； （2）求二面角 OEFC 的正弦值； （3）设 H 为线段
6、 AF 上的点，且 AH=HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值 18（13 分） 已知an是各项均为正数的等差数列， 公差为 d， 对任意的 nN+， bn是 an和 an+1 的等比中项 （1）设 cn=bb，nN+，求证：数列cn是等差数列； （2）设 a1=d，Tn=（1）kbk2，nN*，求证： 第 4 页（共 20 页） 19（14 分） 设椭圆+=1（a） 的右焦点为 F， 右顶点为 A 已知+=， 其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，
7、 与 y 轴于点 H，若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围 20 （14 分）设函数 f（x）=（x1）3axb，xR，其中 a，bR （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0） ，其中 x1x0，求证：x1+2x0=3； （3）设 a0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间0，2上的最大值不小于 第 5 页（共 20 页） 2016 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分） （2016天津）已知集合 A=1，2，3
8、，4，B=y|y=3x2，xA，则 AB=（） A1 B4C1，3D1，4 【分析】把 A 中元素代入 y=3x2 中计算求出 y 的值，确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解 ： 把 x=1，2，3，4 分别代入 y=3x2 得 ： y=1，4，7，10，即 B=1，4，7，10， A=1，2，3，4， AB=1，4， 故选：D 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分） （2016天津）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（） A4B6C10D17 【分析】 作出不等式组表示的平面区域， 作出直线 l0：
9、2x+5y=0， 平移直线 l0， 可得经过点 （3， 0） 时，z=2x+5y 取得最小值 6 【解答】解：作出不等式组表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线 l0：2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线 l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6 故选：B 【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准 确作出不等式组表示的平面区域 3 （5 分） （2016天津）在ABC 中，若 AB=，BC=3，C=120，则 AC=（） A1B2C3D4 【分析】直接利用余弦定理求解即可 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：在ABC
10、中，若 AB=，BC=3，C=120， AB2=BC2+AC22ACBCcosC， 可得：13=9+AC2+3AC， 解得 AC=1 或 AC=4（舍去） 故选：A 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力 4 （5 分） （2016天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（） A2B4C6D8 【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可 【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=24=8，n=2，i4， 第二次判断不满足条件 n3： 第三次判断满足条件：S6，此时计算 S=86=2，n=3， 第四次判断 n3 不满足条件， 第五次判断 S6 不满足条件，S=4n
11、=4， 第六次判断满足条件 n3， 故输出 S=4， 故选：B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键 5 （5 分） （2016天津）设an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“对任意的 正整数 n，a2n1+a2n0”的（） A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可 【解答】解：an是首项为正数的等比数列，公比为 q， 若“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”不一定成立， 第 7 页（共 20 页） 例如 ： 当首项为 2， q=时， 各项为
12、2， 1， ， 此时 2+（1） =10，+（） = 0； 而“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”，前提是“q0”， 则“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0”的必要而不充分条件， 故选：C 【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题 的关键 6 （5 分） （2016天津）已知双曲线=1（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长 为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b， 则双曲线的方程为（） A=1B=1C=1D=1 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2
13、+y2=4，双曲线的两条 渐近线方程为 y=x，利用四边形 ABCD 的面积为 2b，求出 A 的坐标，代入圆的方程， 即可得出结论 【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的 两条渐近线方程为 y=x， 设 A（x，x） ，则四边形 ABCD 的面积为 2b， 2xbx=2b， x=1 将 A（1，）代入 x2+y2=4，可得 1+=4，b2=12， 双曲线的方程为=1， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 7 （5 分） （2016天津）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是
14、边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则的值为（） ABCD 【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：如图， D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF， = = = = 故选：B 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题 8 （5 分） （2016天津）已知函数 f（x）=（a0，且 a1） 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值 范围是（） A （0，B， C，D，） 【分析】利用函数是减
15、函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 f（x）为 减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围 【解答】解：y=loga（x+1）+1 在0，+）递减，则 0a1， 函数 f（x）在 R 上单调递减，则： ； 解得，； 由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x 有且仅有一个解， 故在（，0）上，|f（x）|=2x 同样有且仅有一个解， 当 3a2 即 a时，联立|x2+（4a3）x+3a|=2x， 第 9 页（共 20 页） 则=（4a2）24（3a2）=0， 解得 a=或 1（舍去） ， 当 13a2 时，由图象可知，符合条件， 综上：a 的
16、取值范围为， 故选：C 【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解 决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题 二、填空题二、填空题 9 （5 分） （2016天津） 已知 a， bR， i 是虚数单位，若 （1+i） （1bi） =a， 则的值为2 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于 a，b 的方程，解得 a，b 的值，进而可得答案 【解答】解：（1+i） （1bi）=1+b+（1b）i=a，a，bR， ， 解得：， =2， 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础 题 10 （5 分） （2016天津） （x2）8的展开式中 x7的系数为56（用数字作答） 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解：Tr+1=x163r， 令 163r=7，解得 r=3 （x2）8的展开式中 x7的系数为=56 故答案为：56 第 10 页（共 20 页） 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11
