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1、 名校回顾二立体几何1. 如图，四棱锥中，/，为正三角形，且.（）证明：直线平面；（）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 解：（），且，又为正三角形，所以，又，所以，又，/，平面. （）设点到平面的距离为，则，依题可得.以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，则,则，设,由，可得，来源:学|科|网来源:Z。xx。k.Com解得，即。所以，又由（）可知，是平面的一个法向量，,所以直线与平面所成角的正弦值为.2.如图，在三棱柱中，侧面底面，分别为的中点来源:学&科&网 （1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值解：（1）证明：取的中点，连接，由于，分别为，的中
2、点，所以.又平面，平面，所以平面.又且，所以四边形是平行四边形.则，又平面，平面，所以平面.所以平面平面.又平面，所以直线平面（2）解：令，由于为中点，则，又侧面底面，交线为，平面，则平面，连接，可知，两两垂直.以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，令平面的法向量为，由则令，则.令平面的法向量为，由则令，则由，故二面角的余弦值为.3.如图，已知四边形满足，是的中点，将沿翻折成，使得，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解：（）连接交于点，连接，由四边形为菱形，为的中点得， 平面，所以平面 .（）由第（）小题可知得，以、所在的直线分别为轴
3、建立空间直角坐标系（如图）. 则， ， ，设平面的法向量，则 ，令，解得， 同理平面的法向量， ， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 .4.如图，四棱柱的底面是菱形，底面，.（）证明：平面平面；（）若，求二面角的余弦值.解：（1）证明：平面，平面，.是菱形，.，平面.平面，平面平面.（2）平面，以为原点，方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.，.则，.设平面的法向量为，.令，得.同理可求得平面的法向量为.5.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面底面,为的中点,是棱上的点,. (1)求证:平面平面; (2)若二面角为,设,试确定的值. 【解析】(1)证法一:,为的中点, 四边形为平行四边
4、形,.,即. 又平面平面,且平面平面, 平面. 平面,平面平面. 证法二:,为的中点,四边形为平行四边形, .,即. ,. ,面, 平面. 平面,平面平面. (2):,为的中点,. 面面,且面面,面. 如图,以为原点建立空间直角坐标系.则平面的法向量为;,. 设,由.，有 . 在平面中,平面法向量为. 二面角为,得.6.如图所示,四棱锥,为边长为的正三角形,垂直于平面于,为的中点,.求: (1)异面直线与所成角的余弦值; (2)平面与平面所成二面角的余弦值. 【解析】(1)如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系, , ,., 异面直线AB与PC所成角的余弦值为. (2)设平面的法向量为, 可得令
5、,则, 又, 设平面的法向量为, 可得令,则, . 平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.7. 如图,在四棱锥中,为等边三角形,为的中点,底面为直角梯形,且.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.解：(1)证明:连接, ,为等边三角形的高,来源:学科网,.,又,平面. (2),.以为原点,分别以为x轴和y轴,过点垂直于平面的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.,设, 设平面法向量为,取平面的法向量为.,取,或(舍去),又. 设与平面所成的角为，易得， 故与平面所成角的正弦值为.来源:Z&xx&k.Com8.如图,四边形是直角梯形,又,直线与直线所成的角为. (1)求证:; (2)求二面角的余弦值.解：(1),平面, 平面,. (2)在平面内,过点作的垂线,建立空间直角坐标系,如图所示. 设, ,且, , . 设平面的一个法向量, 则由, , 又平面的一个法向量为, 显然,二面角为锐二面角, 所以二面角的余弦值为.
