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1、微专题04 抛物线2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，题型仍将是选择题、填空题，有时出现解答题，分值512分,重点考查考生的数学运算的核心素养.考点一 抛物线的定义、标准方程与几何性质【必备知识】1、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.数学表达式:|MF|=d(其中d为点M到准线的距离).2、抛物线的标准方程与简单性质标准方程p的几何意义:焦点F到准线的距离图形顶点坐标O（0,0）对称轴X轴Y轴焦点坐标准线方程范围开口方
2、向向右向左向上向下离心率焦半径（设）是抛物线上一点焦点弦过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点，称为焦点弦.【常用结论】1、过焦点垂直于对称轴的弦称为通径,通径长等于2p,是过焦点最短的弦.2、四倍关系:的焦点坐标为，准线方程为.3、如图,AB是过抛物线焦点F的一条弦,设,AB的中点,相应的准线为，(1)以AB为直径的圆必与准线相切.(2)(焦点弦长与中点关系).(3)若直线AB的倾斜角为,则.(4)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即.(5)为定值.(6)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90.【典型例题】【例1】已知抛物线的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若FP
3、M为边长是6的等边三角形,则此抛物线的方程为_.【解析】因为FPM为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线,设,则点,因为焦点,FPM是等边三角形,所以，解得.因此抛物线方程为.【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.待定系数法求抛物线方程的步骤：（1） 定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；（2） 设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程；（3） 寻关系：根据条件列出关于的方程；（4） 得方程：解方程，将代入所设方程为所求.【类比训练】已知过抛物线的焦点,且平行于直线的直线交抛物线于两点,若 ,求该抛物线的
4、方程.【解析】直线AB的方程是与联立,得,所以,由抛物线定义得，所以p=2,所以抛物线方程为.【自我总结】过焦点的弦长的求解方法设过抛物线的焦点的弦的端点为,则,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出即可.考点二直线与抛物线的综合问题【必备知识】直线与抛物线位置关系的判断方法设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立消元得:.(1) 若,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2) 若,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0时,直线与抛物线相离,无公共点.【例2】已知过抛物线焦点F的直线交抛
5、物线于A,B两点(点A在第一象限),若,则直线的方程为( )A. B.B. D.【解析】选B.由题知F(0,1),设直线,与抛物线联立，得.设,则有,又因为，所以,与联立解得,故直线的方程为,即.【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.【类比训练】 已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.(1)求抛物线E的方程.(2)求直线AB的方程.【解析】(1)由
6、于抛物线的焦点为(1,0),所以,即p=2,所求抛物线的方程为.(2)解法一:设，则 , ,且,由-得,又,所以，所以所求直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.解法二:显然AB不垂直于x轴,故可设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),k0,设,由消去x整理得,所以,又M点是AB的中点,所以,所以k=2,故直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法（1）有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用
7、焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.（2）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.（3）中点弦问题解题策略两方法方法一：点差法（将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由求斜率，再由点斜式求解）方法二：传统法（设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率）【例3】已知抛物线和的焦点分别为,点P(-1,-1),且(O为坐标原点).(1)求抛物线的方程.(2)过点O的直线交的下半部分于点M,交的左半部分于点N,求PMN面积的最小值.【
8、解析】(1)所以，则 所以p=2,所以的方程为.(2)设过点O的直线为y=kx,联立得M 联立得N(k0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【解析】答案：D.因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D2、(2018全国卷I高考理科T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点-2,0且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=( )A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.由题意知直线MN的方程为,F(1,0).设,与抛物线方程联立有y=23(x+2),y2=4x,可得x1=1,y1=2或x2=4,y2=4,所以=(0,2),=(3,4),所以=03
9、+24=8.3、(2017全国乙卷理科T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线,直线与C交于A,B两点,直线与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16 B.14 C.12 D.10【解析】选A.设直线方程为,联立方程得,设,所以x1+x2=-,同理直线与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=+4=+82+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.【非选择题组】1、 (2018全国高考理科T16)已知点M-1,1和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=
10、.【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以,因为AMB=90,所以=(x1+1,y1-1)(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)-1k(x2-1)-1=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)2(k2+2)k2+(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解得k=2.答案:22、（2019全国I卷高考理
11、科T19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【解析】（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立得：则 ，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则 ， ， 则3、（2019全国III卷高考理科T21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】(1)证明：设,则，又因为，所以.则切线DA的
12、斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立，所以直线恒过定点.（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，于是.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时因此，四边形的面积为3或.5、 (2017浙江高考T21)如图,已知抛物线x2=y.点A,B,抛物线上的点P(x,y),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围.(2)求的最大值.【解析】(1)设直线AP的斜率为k,k=x-,因为-x,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是,因为|PA|=(k+1),|PQ|=-,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|PQ|取得最大值.6、(2017北京高考理科T18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的
