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1、8- 导数（8个大题）1.已知函数（双变量及二阶导数应用）（1）讨论的单调性；（2）若，求证：解：（1）函数定义域为 ，令得，令得，故在单调递增，在单调递减.（2）不妨设，则， 要证：即证：，来源:Zxxk.Com而，令，（*）等价于，设，令在恒成立，则在单调递增，故，故在单调递增，故，故原命题得证来源:学|科|网2.已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数（1）求实数的取值范围；（2）求的取值范围解：（），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令， 则由可得，解得.（），由（）知，代入得，令，于是可得，故在上单调递减，.来源:Z#xx#k.Com3.已知函数在点处的切线方
2、程为,且.（1）求函数的极值；（2）若在上恒成立，求正整数的最大值.解：（1），那么来源:Z。xx。k.Com由，得，化简得由得， 即，得，在单调递减，在单调递增，无极大值. （2）在上恒成立，等价于在上恒成立.设，则设，则， ，有在区间上是减函数，来源:学科网又，存在，使得，当时，有，当时，有.在区间上递增，在区间上递减， 又当时，恒有；当时，恒有；使命题成立的正整数 的最大值为.4.已知函数（）（是自然对数的底数）.（1）求单调区间；（2）讨论在区间内零点的个数.解:（1）当时，单调增间为，无减区间；当时，单调减间，增区间为（2）由得或先考虑在区间的零点个数当时，在单调增且，有一个零点；当
3、时，在单调递减，有一个零点；当时，在单调递减，单调递增.而，所以或时，有一个零点，当时，有两个零点而时，由得所以或或时，有两个零点；当且时，有三个零点5.设函数，f（x）=lnx+，kR（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线与直线x-2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1x20，f（x1）-f（x2）x1-x2恒成立，求k的取值范围解：（1）由条件得，曲线在点处的切线与直线垂直，此切线的斜率为0，即，有，得，由得，由得在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设则在上单
4、调递减，则在上恒成立，得恒成立，（对仅在时成立），故的取值范围是6.某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为，高为，体积为立方米，且.已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为千元（1）求关于的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）问为多少时，该容器建造总费用最小？解（1）设容器的容积为，由题意知，故，因为，所以，故建造费用，即，.（2）由（1）得，令得，当，即时，若，则,函数单调递减；若，则，函数单调递增；所以时，函数取得极小值，也是最小
5、值.当即时，因为，则，函数单调递减；则时，函数取得最小值.综上所述:若，当时，建造总费用最少；若，当时，建造总费用最少.7.已知函数.(虚设零点)(1)当时,求在点处的切线方程;(2)若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.解： (1)当时,在点处的切线方程为:.(2),令,则,在上递增,(虚设零点),当时,存在,使,且在上递减,在上递增.,即,对于任意的,恒有成立,.令,而,当时,存在,使,在上递增,在上递增,.8.已知的图像在点处的切线与直线平行. (1)求的取值范围; (2)若在上恒成立,求的取值范围.解:(1),根据题意,即, 所以, 又,所以. (2)由题意知, 令, 则,当时, 若,则,是减函数,所以, 故在上恒不成立; 时,当时,所以在是增函数, 又,故. 综上所述,所求的取值范围为.
