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1、8- 导数(8个大题)1.已知函数(双变量及二阶导数应用)(1)讨论的单调性;(2)若,求证:解:(1)函数定义域为 ,令得,令得,故在单调递增,在单调递减.(2)不妨设,则, 要证:即证:,来源:Zxxk.Com而,令,(*)等价于,设,令在恒成立,则在单调递增,故,故在单调递增,故,故原命题得证来源:学|科|网2.已知函数的两个极值点满足,且,其中为自然对数的底数(1)求实数的取值范围;(2)求的取值范围解:(),由题意知即为方程的两个根.由韦达定理:,所以且.令, 则由可得,解得.(),由()知,代入得,令,于是可得,故在上单调递减,.来源:Z#xx#k.Com3.已知函数在点处的切线方
2、程为,且.(1)求函数的极值;(2)若在上恒成立,求正整数的最大值.解:(1),那么来源:Z。xx。k.Com由,得,化简得由得, 即,得,在单调递减,在单调递增,无极大值. (2)在上恒成立,等价于在上恒成立.设,则设,则, ,有在区间上是减函数,来源:学科网又,存在,使得,当时,有,当时,有.在区间上递增,在区间上递减, 又当时,恒有;当时,恒有;使命题成立的正整数 的最大值为.4.已知函数()(是自然对数的底数).(1)求单调区间;(2)讨论在区间内零点的个数.解:(1)当时,单调增间为,无减区间;当时,单调减间,增区间为(2)由得或先考虑在区间的零点个数当时,在单调增且,有一个零点;当
3、时,在单调递减,有一个零点;当时,在单调递减,单调递增.而,所以或时,有一个零点,当时,有两个零点而时,由得所以或或时,有两个零点;当且时,有三个零点5.设函数,f(x)=lnx+,kR(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x-2=0垂直,求f(x)的单调递减区间和极小值(其中e为自然对数的底数);(2)若对任意x1x20,f(x1)-f(x2)x1-x2恒成立,求k的取值范围解:(1)由条件得,曲线在点处的切线与直线垂直,此切线的斜率为0,即,有,得,由得,由得在上单调递减,在上单调递增,当时,取得极小值故的单调递减区间为,极小值为2(2)条件等价于对任意恒成立,设则在上单
4、调递减,则在上恒成立,得恒成立,(对仅在时成立),故的取值范围是6.某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器(不计厚度,长度单位:米),按照设计要求,该容器的底面半径为,高为,体积为立方米,且.已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为千元,圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为千元,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,该容器的建造总费用为千元(1)求关于的函数表达式,并求出函数的定义域;(2)问为多少时,该容器建造总费用最小?解(1)设容器的容积为,由题意知,故,因为,所以,故建造费用,即,.(2)由(1)得,令得,当,即时,若,则,函数单调递减;若,则,函数单调递增;所以时,函数取得极小值,也是最小
5、值.当即时,因为,则,函数单调递减;则时,函数取得最小值.综上所述:若,当时,建造总费用最少;若,当时,建造总费用最少.7.已知函数.(虚设零点)(1)当时,求在点处的切线方程;(2)若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.解: (1)当时,在点处的切线方程为:.(2),令,则,在上递增,(虚设零点),当时,存在,使,且在上递减,在上递增.,即,对于任意的,恒有成立,.令,而,当时,存在,使,在上递增,在上递增,.8.已知的图像在点处的切线与直线平行. (1)求的取值范围; (2)若在上恒成立,求的取值范围.解:(1),根据题意,即, 所以, 又,所以. (2)由题意知, 令, 则,当时, 若,则,是减函数,所以, 故在上恒不成立; 时,当时,所以在是增函数, 又,故. 综上所述,所求的取值范围为.