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1、 高三数学微专离心率(二)挖掘几何性质寻求几何特征之间关系(数形结合)例1.以双曲线上一点为圆心作圆,该圆与轴相切于的一个焦点,与轴交于两点P,Q.若三角形MPQ为正三角形,则该双曲线的离心率等于.解:设圆与双曲线相切于点,则轴,于是可设代入双曲线方程中解得所以所以.因为为等边三角形,所以化简,得即即,所以解得或又所以.练习1-(1).若,分别是双曲线的左、右焦点,过点作以为圆心为半径的圆的切线,为切点,若切线段被双曲线的一条渐近线平分,则双曲线的离心率为。来源:学&科&网Z&X&X&K 练习1-(2).在平面直角坐标系中,点是双曲线的右焦点,点在双曲线上且是等边三角形,则双曲线的离心率为例2
2、.已知是椭圆的右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且,则椭圆的离心率等于解:画出图象如下图所示,根据,可知,所以,且.,.根据椭圆的定义知.由勾股定理有,化简得,.练习2-(1).设F为双曲线的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆交于P,Q 两点,若 ,则的离心率为练习2-(2).点F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在点A使为正三角形,那么椭圆的离心率为来源:Zxxk.Com例3.椭圆上的点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且的面积为,则椭圆的离心率为解: 本题考查椭圆的离心率,因为点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且,故可设,由的面积为可得,所以,于是,所以,即,所以,得.练习3.、为椭圆C:
3、的左、右焦点,过左焦点的直线交椭圆于M、N两点,若轴,且,则椭圆的离心率为来源:学科网例4.已知,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,为坐标原点,且,则该椭圆的离心率为解:由已知可得,即,又,所以,又,且,则可得,则,所以,所以,即练习4.设双曲线的左焦点为,直线过点且与双曲线在第二象限的交点为,为原点.若,则双曲线的离心率为例5.如图,点为双曲线的右顶点,点为双曲线上一点,作轴,垂足为,若为线段的中点,且以为圆心,为半径的圆与双曲线恰有三个公共点,则的离心率为。 解:由题意可得,为线段的中点,可得,令,代入双曲线的方程可得,可设,由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点,即,即有,可得,.练
4、习5.已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线的左支上,与双曲线的右支交于点,若为等边三角形,则该双曲线的离心率是。 高三数学微专离心率(二)挖掘几何性质寻求几何特征之间关系(数形结合)例1.以双曲线上一点为圆心作圆,该圆与轴相切于的一个焦点,与轴交于两点P,Q.若三角形MPQ为正三角形,则该双曲线的离心率等于.解:设圆与双曲线相切于点,则轴,于是可设代入双曲线方程中解得所以所以.因为为等边三角形,所以化简,得即即,所以解得或又所以.练习1-(1).若,分别是双曲线的左、右焦点,过点作以为圆心为半径的圆的切线,为切点,若切线段被双曲线的一条渐近线平分,则双曲线的离心率为。解:由题设知,在直角中,
5、所以,即直线的倾斜角为,所以切线段被双曲线的渐近线垂直平分,因此,即,所以,所以,练习1-(2).在平面直角坐标系中,点是双曲线的右焦点,点在双曲线上且是等边三角形,则双曲线的离心率为解:由题意,代入双曲线方程得,整理得,即,解得(舍去),即.例2.已知是椭圆的右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且,则椭圆的离心率等于解:画出图象如下图所示,根据,可知,所以,且.,.根据椭圆的定义知.由勾股定理有,化简得,.练习2-(1).设F为双曲线的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆交于P,Q 两点,若 ,则的离心率为解:,又,解得,即.练习2-(2).点F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在点A使为
6、正三角形,那么椭圆的离心率为解:设F为椭圆的右焦点,根据椭圆的对称性,得直线的斜率为,所以点A的坐标为,代入椭圆方程得得到,再将代入上式得,又,得,解得,注意到椭圆的离心率范围为,故.例3.椭圆上的点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且的面积为,则椭圆的离心率为解: 本题考查椭圆的离心率,因为点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且,故可设,由的面积为可得,所以,于是,所以,即,所以,得.练习3.、为椭圆C:的左、右焦点,过左焦点的直线交椭圆于M、N两点,若轴,且,则椭圆的离心率为解:由得,又因为,所以,代入椭圆得.因为,所以.因为,所以.例4.已知,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,为坐标原点,且
7、,则该椭圆的离心率为解:由已知可得,即,又,所以,又,且,则可得,则,所以,所以,即练习4.设双曲线的左焦点为,直线过点且与双曲线在第二象限的交点为,为原点.若,则双曲线的离心率为解:设.由直线过点得,解得,即.设点,则线段的中点的坐标为.因为,所以直线与直线OM垂直,则,解得,则点的坐标为.因为点在双曲线上,所以.又,所以,所以双曲线的离心率来源:学|科|网Z|X|X|K例5.如图,点为双曲线的右顶点,点为双曲线上一点,作轴,垂足为,若为线段的中点,且以为圆心,为半径的圆与双曲线恰有三个公共点,则的离心率为。 解:由题意可得,为线段的中点,可得,令,代入双曲线的方程可得,可设,由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点,即,即有,可得,.来源:Z*xx*k.Com练习5.已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线的左支上,与双曲线的右支交于点,若为等边三角形,则该双曲线的离心率是。解:由题意得,设,则.由双曲线的定义可知且,解得,在中,由余弦定理得,即,所以