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1、2010学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学文科一、填空题（本大题满分56分）1. 双曲线的实轴长为 . 2.不等式的解集为 .3. 二项式的展开式中的第八项为 . 4. 已知点在函数，的图像上，则的反函数 . 5. 若行列式的第三行、第三列元素的代数余子式等于，则行列式的值为 . 6. 在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为 . 7. 已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，则数列各项的和为 . 8.由若干个棱长为的正方体组成的几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 .第8题图-文9.已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为和的矩形，则该圆柱的体积是 .
2、10.已知数列是等差数列，则过点和点的直线的倾斜角是 .（用反三角函数表示结果）11.设抛物线上一点到该抛物线准线与直线的距离之和为，若取到最小值，则点的坐标为 . 12.已知集合，集合.在集合中任取一个元素，则事件“”发生的概率是 .13.在平面直角坐标系中，设，动点同时满足则的最大值是 .14. 把正整数排列成如图1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图2的三角形数阵. 现将图2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 第14题图-1第14题图-2二、选择题（本大题满分20分）15. 设实数、满足,且,那么下列不等式中不一定成立的是 （ ） A.
3、； B. ； C.； D. .16. 已知方程，其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是( ） A. 该方程一定有一对共轭虚根； B. 该方程可能有两个正实根； C. 该方程两根的实部之和等于-2； D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1.17.对任意的，以下与的值恒相等的式子为 （ ）A. ； B. ； C. ； D. .18. 已知函数的零点，且常数分别满足，则 （ ）A. ; B. ; C. ; D. .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）已知复数满足（为虚数单位），复数，试确定一个以为
4、根的实系数一元二次方程.20. （本题满分14分）为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费。”方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）.请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？21.（本题满分14分）已知坐标平面内的一组基向量为，其中，且向量.（1）当和都为单
5、位向量时，求；（2）若向量和向量共线，求向量和的夹角.第22题图22.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 .（1）求证：;（2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值；（3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为.试用平面解析几何的研究方法判断点、是否共线，并说明理由. 2010学年度第二学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201104一、填空题（满分56分）：1. ； 2. 理：3； 文：； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 32； 8. 理：-6；文：5； 9. 或； 10. 理：；11. ；12.
6、理：；文：； 13. 理：（2，2012）；文：； 14. 1028.二、选择题（满分20分）： 题号15161718答案CCDA三、解答题： 19.（本题满分12分）解法一：因为 ，得 ，所以 . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根， 因为，故所求的一个一元二次方程可以是.解法二：设，则 ， ，以下解法同解法一.20.（本题满分14分）解：争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价50%收费”的含义出现了歧义。以下给出三种不同的理解：解释一：第一小时为10元，以后每小时都为15元.14小时总收费为：元；解释二：第一小时为10元，以后每小时都比前一小时增加5元.可以理解为等差数列求和，则
7、14小时总收费为元.解释三：第一小时为10元，以后每小时都增加50%.可以理解为等比数列求和，则14个小时的收费为元.【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分.21. （本题满分14分）（理科）解：（1）以点为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点、，则，.设异面直线与所成角为第21题图xyz,所以异面直线与所成角大小为.（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.（文科）解：(1)由题意，当时，此时，都为单位向量.故，所以.(2) 由条件因为向量和向量共线，所以，因
8、为，所以.于是，设向量和的夹角为则，即向量和的夹角为.22.（本题满分16分）（理科，同文科23题）解：（1）由得，则，任取，都有，则该函数为奇函数.（2）任取，则有，.又，所以，即，故函数在区间上单调递减.（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列要满足条件，则必有。由（1）知函数是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，所以要构造满足条件的等差数列，可利用等差数列的性质，只需等差数列满足：且即可.我们可以先确定使得，因为公差不为零的等差数列必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在中，即可满足要求. 所以只要对应的点尽可能的接近原点.如取，存在满足条件的一个等差数列可以是. 【说明】本问题结论开放
9、. 我们可以将问题解决的方法一般化.设，若，可得.而由题意，需（）.同理，若，则需.（文科） （1）证法一：由题意，原点必定在圆内，即点代入方程的左边后的值小于0，于是有，即证.证法二：由题意，不难发现、两点分别在轴正负半轴上. 设两点坐标分别为， ，则有. 对于圆方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.因为，故.（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为，可得.又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故. 对于方程所表示的圆，可知，所以.（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为，. 则可得点的坐标为，即.又，且，故要使、三点共线，只需证即可.而，且对于圆的一般方程，当时可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于是有.所以，即. 故、必定三点共线.8用心 爱心 专心
