《2021年高考[数学]一轮复习考点05 函数的周期性与对称性（学生版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考[数学]一轮复习考点05 函数的周期性与对称性（学生版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021年高考考点扫描高考一轮考点扫描真题剖析逐一击破 考点5 函数的周期性与对称性【考点剖析】一最新考试说明：1理解函数的周期性 ,会判断函数的周期性【例】(2018全国卷)已知是定义域为的奇函数 ,满足若 ,则AB0C2D50【例】(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R当x0)则f(x)为周期函数 ,且T2a为它的一个周期8.对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称 ,则函数f(x)必为周期函数 ,2|ab|是它的一个周期(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称 ,则函数f(x)必为周期函数 ,2|ab|是它的一个周期(3)若函数f
2、(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称 ,则函数f(x)必为周期函数 ,4|ab|是它的一个周期四、名师二级结论：一条规律若T是函数的周期 ,则kT(kZ且k0)也是函数的周期两个应用1已知函数的周期性求函数的值2已知函数的对称性研究函数的图象三种方法求函数周期的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)公式法五、课本经典习题：(1)新课标人教A版必修四第46页习题1.4A组第10题设函数是以2为最小正周期的周期函数 ,且时 , ,求的值。2【经典理由】典型的巩固定义题 ,可以进行多角度变式 (2新课标人教A版必修四第46页习题1.4B组第3题已知函数的图象如图所示 ,试回答下列问题：（
3、1）求函数的周期；（2）画出函数的图象；（3）你能写出函数的解析式吗？【经典理由】典型的巩固定义题 ,可以进行改编、变式或拓展六考点交汇展示：(1) 函数的对称性与方程的根交汇例1（2020四川三台中学实验学校高三）已知函数的定义域为 ,且为奇函数 ,当时 , ,则的所有根之和等于（ ）A4B5C6D12 (2) 函数的周期性与方程的根交汇例2【2017江苏 ,14】设是定义在且周期为1的函数 ,在区间上, 其中集合 ,则方程的解的个数是 .(3) 函数的对称性与函数图象交汇例3（2020河南南阳中学高三月考（理）已知定义在上的偶函数满足 ,当时 ,.函数 ,则与的图象所有交点的横坐标之和为（
4、 ）A3B4C5D6 (4) 函数的对称性与函数的零点交汇例4（2020湖北高三）已知函数是定义域为的偶函数 ,且满足 ,当时 , ,则函数在区间上零点的个数为（ ）A9B10C18D20 (5) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例5. 【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数 ,的周期为4 ,的周期为2 ,且是奇函数.当时 , , ,其中k0.若在区间(0 ,9上 ,关于x的方程有8个不同的实数根 ,则k的取值范围是 .【考点分类】热点一 函数的周期性1（2020江西高三）设是定义在上的周期为3的周期函数 ,如图表示该函数在区间上的图象 ,则（ ）A0B1CD22（2020
5、湖南高三）已知函数是定义在R上的奇函数 ,且满足 ,当时 ,（其中e是自然对数的底数） ,若 ,则实数a的值为( )AB3CD3.（2020全国高三二模）定义在上的奇函数满足 ,若 , ,则（ ）AB0C1D2【方法规律】函数周期性的相关结论：设a是非零常数 ,若对f(x)定义域内的任意x ,恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)f(xa) ,则f(x)是周期函数 ,2|a|是它的一个周期(以上各式中分母均不为零)热点二 函数性质的综合应用1（2020河南高三）已知定义在上的奇函数满足 ,且当)时 ,则_.2（2020湖南高三）已知函数是定义在上的偶函数 ,且在上单调递增 ,则（
6、 ）ABCD3（2020河南高三一模）关于函数 ,有下列三个结论:是的一个周期；在上单调递增；的值域为.则上述结论中 ,正确的个数为（）ABCD【方法规律】1解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中 ,如果结合函数的性质画出函数的简图 ,根据简图进一步研究函数的性质 ,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了 ,对问题的解决有很大的帮助（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大 ,然后利用函数的奇偶性调整正负号 ,最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置 ,然后利用单调性确定一段区间的图象 ,再利用奇偶性确定对称区间的图
7、象 ,最后利用周期性确定整个定义域内的图象2 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心 ,或一对称轴一对称中心) ,则该函数必是周期函数特别地 ,有以下结论(其中a0)：若f(x)有对称轴xa ,且是偶函数 ,则f(x)的周期为2a；若f(x)有对称轴xa ,且是奇函数 ,则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a ,0) ,且是偶函数 ,则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a ,0) ,且是奇函数 ,则f(x)的周期为2a【易错点睛】误区1函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R上 ,且对常数T0 ,恒有f(xT)f(x) ,则在
8、区间0 ,2T上 ,方程f(x)0根的个数至少有 ()A3个 B4个 C5个 D6个【错解】由f(x)是R上的奇函数 ,得f(0)0x10再由f(xT)f(x)得f(2T)f(T)f(0)0x2T ,x32T即在区间0 ,2T上 ,方程f(x)0根的个数最小值为3个【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇即解时要把抽象性质用足 ,不仅要充分利用各个函数方程 ,还要注意方程和互动【正解】由方程得f(0)0x10再由方程得f(2T)f(T)f(0)0x2T ,x32T又 ,令x0得又再由得 ,故方程f(x)0至少有5个实数根故选C误区2忽视隐含条件的挖掘致误【例2】设f(x)是定义在R上且周
9、期为2的函数 ,在区间1 ,1上 ,其中a ,bR若 ,则a3b的值为_【错解】因为f(x)的周期为2 ,所以 ,即又因为 ,所以【剖析】(1)转化能力差 ,不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(1)f(1) ,从而无法求出a、b的值【正解】因为f(x)的周期为2 ,所以 ,即又因为 ,所以整理 ,得又因为f(1)f(1) ,所以 ,即b2a 将代入 ,得a2 ,b4所以a3b23(4)10【热点预测】1已知函数f(x)的定义域为R.当x0时 , ；当 时 ,；当 时 , .则f(6)= （ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）22（2020宜宾市叙州区第一中学校高三）已知是定义在
10、R上的偶函数 ,且满足 , 当 ,则（ ）A-1.5B-0.5C0.5D1.53.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数 ,记 ,则 的大小关系为( )（A） （B） （C） （D） 4【2016高考新课标2理数】已知函数满足 ,若函数与图像的交点为则（ ）（A）0 （B） （C） （D）5已知 ,方程在0 ,1内有且只有一个根 ,则在区间内根的个数为（ ）A2011 B1006 C2013 D10076若的图像是中心对称图形 ,则( )A4 B C2 D7.已知实数 ,对于定义在上的函数 ,有下述命题：“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直
11、线对称”；“是的一个周期”的充要条件是“对任意的 ,都有”； “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”其中正确命题的序号是A B C D8【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学】已知直线与曲线有三个不同的交点 , , ,且 ,则_.A4 B3 C2 D19（2020贵州高三月考）函数满足 ,且 ,则（ ）ABCD10.设是定义在R上的周期为2的函数 ,当时 , ,则 11（2020全国高三月考）已知定义在上的函数满足 ,且的图象与的图象有四个交点 ,则这四个交点的横纵坐标之和等于_.12.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数 ,在区间上 , 其中 若 ,则的值是 .13. 【湖南省长沙市第一中学2020年高三】若函数称为“准奇函数” ,则必存在常数a ,b ,使得对定义域的任意x值 ,均有 ,已知为准奇函数” ,则ab
