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1、高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 1 页（共 14 页） 五、极限法 方法简介 极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依 此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某 些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率， 使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不 仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功 倍的效果。 赛题精讲 例例 1：如图 51 所示，一个质量为 m 的小球位于一质量可忽略的直 立弹簧上方 h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为 k，则物块可能获得的最大动能
2、为。 解析解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运 动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所 以速最大时有 mg=kx 由机械能守恒有：mg (h + x) = Ek + 1 2 kx2 联立式解得：Ek = mgh 22 m g 2k 例例 2：如图 52 所示，倾角为 的斜面上方有一点 O ，在 O 点放一 至斜面的光滑直轨道，要求一质点从 O 点沿直轨道到达斜面 P 点的时间最 短。求该直轨道与竖直方向的夹角 。 解析解析：质点沿 OP 做匀加速直线运动，运动的时间 t 应该与 角有关，求时间 t 对于 角的函数的极值即可。 由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑
3、的加速度 为： a = gcos 该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为 t，则： 1 2 at2 =OP 所以：t = 2OP gcos 由图可知，在 OPC 中有： 图 51 图 52 高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 2 页（共 14 页） o OP sin(90) = o OC sin(90) 所以：OP= OCcos cos() 将式代入式得：t = 2OCcos gcos cos() = 4OCcos coscos(2 ) g 显然，当 cos(2) = 1 ，即 = 2 时，上式有最小值。 所以当 = 2 时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。 此题也可以用作图法求解。 例例
4、 3：从底角为 的斜面顶端，以初速度 v0水平抛出一小球，不计空 气阻力，若斜面足够长，如图 53 所示，则小球抛出后，离开斜面的最 大距离 H 为多少？ 解析解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向 右为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，则由：vy = v0tan = gt ，解得 运动时间为 t = 0 v g tan 该点的坐标为： x = v0t = 2 0 v g tan，y = 1 2 gt2 = 2 0 v 2g tan2 由几何关系得： H cos + y = xtan 解得小球离开斜面的最大距离为： H = 2 0 v 2g tansin 这道题若
5、以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简 便。 例例 4：如图 54 所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为 3.0m 的墙外，从喷口算起，墙高为 4.0m。若不计空气阻力，取 g = 10m/s2，求 所需的最小初速及对应的发射仰角。 图 5 高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 3 页（共 14 页） 解析解析： 水流做斜上抛运动， 以喷口 O 为原点建立如图所示的直角坐标， 本题的任务就是水流能通过点 A（d、h）的最小初速 度和发射仰角。 根据平抛运动的规律，水流的运动方程为： 0 2 0 xv cost 1 yv sintgt 2 把 A 点坐标（d、h）代入以上两式，消
6、去 t，得： 2 0 v= 2 2 gd 2(hdtan )cos = 2 gd dsin2h(cos21) = 2 22 2222 gd dh dhsin2cos2h dhdh 令 h d = tan，则 22 d dh = cos， 22 h dh = sin，上式可变为： 2 0 v= 2 22 gd dh sin(2)h 显然，当 sin (2) = 1 时，即 2 = 90，亦即发射角 = 45 + 2 = 45+ 1 2 arctan h d = 45+ arctan 4 3 = 71.6时， v0最小， 且最小速度为： v0 = 22 g( dhh)= 310= 9.5m/s 例
7、例 5：如图 55 所示，一质量为 m 的人，从长为 l、质量为 M 的铁 板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦 因数为 ， 人和铁板间摩擦因数为 ， 且 。 这样， 人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离 L 是多少？ 解析解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板 一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面 对铁板的摩擦力 f，其加速度 a1 = f Mm = (Mm)g Mm = g 。 由于铁板移动的距离 L = 2 1 v 2a ，故 v越大，L 越大。v是人与铁板一 起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。 人在铁板上奔
8、跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与 铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦 (M + m)g ， 根据系统的牛顿第二定律 得： 图 54 图 55 高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 4 页（共 14 页） F = ma2 + M0 所以：a2 = F m = Mm m g 设 v 、v分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度： 因为：mv = (M + m)v 且：v2 = 2a2l ， 2 v = 2a1L 并将 a1、a2代入式解得铁板移动的最大距离： L = m Mm l 例例 6：设地球的质量为 M ，人造卫星的质量为 m，地球的半径为 R0， 人造卫星环绕地球做圆周运动的半
9、径为 r。试证明：从地面上将卫星发射 至运行轨道，发射速度 v = 0 0 R gR (2) r ，并用该式求出这个发射速度的最小 值和最大值。 （取 R0 = 6.4106m） ，设大气层对卫星的阻力忽略不计，地 面的重力加速度为 g） 解析解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一 常量。设卫星从地面发射的速度为 v发，卫星发射时具有的机械能为： E1 = 1 2 m 2 v发G 0 Mm R 进入轨道后卫星的机械能为：E2 = 1 2 m 2 v轨G Mm r 由 E1 = E2，并代入 v轨 = GM r ，解得发射速度为： v发 = 0 0 RGM (2) Rr 又
10、因为在地面上万有引力等于重力，即：G 2 0 Mm R = mg ，所以： 0 GM R = gR0 把式代入式即得：v发 = 0 0 R gR (2) r （1）如果 r= R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发 射速度最小为：vmin = 0 gR= 7.9103m/s 。 高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 5 页（共 14 页） （2） 如果 r， 所需发射速度最大 （称为第二宇宙速度或脱离速度） 为：vmax = 0 2gR= 11.2103m/s 。 例 7：如图 56 所示，半径为 R 的匀质半球体，其重心在球心 O 点 正下方 C 点处，OC = 3 8 R ，半球
11、重为 G ，半球放在水平面上，在半球的平 面上放一重为 G 8 的物体，它与半球平在间的动摩擦 因数 = 0.2 ，求无滑动时物体离球心 O 点最大距 离是多少？ 解析： 物体离 O 点放得越远， 根据力矩的平衡， 半球体转过的角度 越大，但物体在球体斜面上保 持相对静止时， 有限度。 设物体距球心为 x 时恰好无滑动，对整体以半 球体和地面接触点为轴，根据平衡条件有： G 3R 8 sin = G 8 xcos，得到：x = 3Rtan 可见，x 随 增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩 擦力，则： tanm = m f N = = 0.2 ，所以 x = 3R = 0.6R 。
12、 例例 8：有一质量为 m=50kg 的直杆，竖立在水平 地面上，杆与地面间静摩擦因数 = 0.3 ，杆的上端 固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角 = 30， 如图 57 所示。 （1）若以水平力 F 作用在杆上，作用点到地面 的距离 h1 = 2 5 L（L 为杆长） ，要使杆不滑倒，力 F 最 大不能越过多少？ （2）若将作用点移到 h2 = 4 5 L 处时，情况又如何？ 解析解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的 前提下，力的大小还与 h 有关，讨论力与 h 的关系是关 键。 杆的受力如图 57甲所示，由平衡条件得： FTsinf = 0 NTcosmg = 0
13、 F(Lh)fL = 0 另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当 f 增 图 56 图 57 图 57甲 高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 6 页（共 14 页） 大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f = N 解得：Fmax = mgLtan tan (Lh)h 由上式又可知，当 tan (Lh)h，即当 h0 = 0.66L 时，对 F 就没有限制了。 （1）当 h1 = 2 5 Lh0，将有关数据代入 Fmax的表达式得：Fmax = 385N （2）当 h2 = 4 5 Lh0，无论 F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象 即称为自锁。 例例 9：放在光滑水平面上的木板
14、质量为 M ，如图 58 所示，板上有 质量为 m 的小狗以与木板成 角的初速度 v0（相对于地面）由 A 点跳到 B 点，已知 AB 间距离为 s。求初速度的最小值。 解析解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移 向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。小 狗落到板上的 B 点时，小狗和木板对地位移的大小 之和，是小狗对木板的水平位移。 由于水平方向动量守恒，有：mv0cos = Mv ，即：v = 0 mv sin M 小狗在空中做斜抛运动的时间为：t = 0 2v sin g 又：s + v0cost = vt 将、代入式得：v0 = Mgs (Mm)sin2 当 sin2 = 1 ，
15、即 = 4 时，v0有最小值，且 v0min = Mgs Mm 。 例例 10：一小物块以速度 v0 = 10m/s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶 部水平的高台上，并由高台上飞出，如图 59 所示。当高台的高度 h 多 大时，小物块飞行的水平距离 s 最大？这个距离是多少？（g 取 10m/s2） 图 58 高中物理竞赛经典方法大全 极限法第 7 页（共 14 页） 解析解析：依题意，小物块经历两个过程。 在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持 力， 由于支持力不做功， 物块的机械能守恒， 物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平 距离 s 是高度 h 的函数。 设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v， 根据机械能守恒定律： 1 2 m 2 0 v= 1 2 mv2 + mgh 小物块做平抛运动的水平距离 s 和高度 h 分别为： s = vt h = 1 2 gt2 以上三式联立解得：s = 2 0 2h v2gh g = 2 22 2200 vv ()(h) 4g4g 当 h = 2 0 v 4g = 2.5m 时，s 有最大值，且 smax = 2 0 v 2g = 5m 。 例例 11：军训中，战士距墙 s，以速度 v0起跳，如图 510 所示，再 用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上
