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1、第 1 页 共 8 页 高中常用函数图像与性质高中常用函数图像与性质 一、常值（数）函数一、常值（数）函数 1. 定义：定义：一般地，形如为常数）（ccy ，那么叫做常值（数）函数. 2. 图像与性质：图像与性质： 解析式)0( ccy0y)0( ccy 图像 性质 定义域R 值域cyy 单调性不具单调性 奇偶性偶函数 对称性对称轴：y轴（0 x） 二、一次函数二、一次函数 1. 定义：定义：一般地，形如 y=kxb(k,b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，y=kx，此时 y 叫做 x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数. 2. 图像与性质：图
2、像与性质： 一次 函数 0kkxb k k，b 符号 0k 0k 0b 0b 0b 0b 0b 0b 图象 性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小 三、二次函数三、二次函数 1. 定义：定义：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数. 2. 解析式：解析式： （1）一般式：）一般式：)0( 2 ccbxaxy； （2）顶点式：）顶点式：)0( 4 4 ) 2 ( 2 2 a a bac a b xay； 第 2 页 共 8 页 （3）两点式：）两点式：)0)()( 21 axxxxa，其中)0,( , )0,( 21 xx为图像与x轴了两交点的坐标.
3、3. 二次函数3. 二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较：的比较： 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 4. 二次函数的系数4. 二次函数的系数cba,对图像的影响对图像的影响 （1）系数（1）系数a： 0a，开口向上；0a，开口向下； a越大，开口越大；a越小，开口越小； （2）系数（2）系数b：ba ,的符号共同决定对称轴的位置， “左同右异”的符号共同决定对称轴的位置， “左同右异” ba、同号：0ab，对称轴
4、a b x 2 在y轴左侧， ba、异号：0ab，对称轴 a b x 2 在y轴右侧； （3）常数（3）常数c：与：与y轴交点坐标轴交点坐标),0(c； 5. 二次函数二次函数 2 yaxbxc)0( a的性质的性质 2 0fxaxbxc a0a 0a 图像 定义域, 对称轴 2 b x a 顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa 值域), 4 4 ( 2 a bac 2 4 , 4 acb a 第 3 页 共 8 页 单调区间 ) 2 ,( a b 递减 ) 2 (， a b 递增 ) 2 ,( a b 递增 ) 2 (， a b 递减 6. 二次函数二次函数 2 yaxbxc图象的画法
5、图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、 与y轴的交点0c，、 以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关 于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住 5 要素：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 7. 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 （1）当抛物线）当抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴两个交点时，公共点的横坐标 21, x x是一
6、元二次方程 )0(0 2 acbxax的根的根. （2）当 2 40bac 时，抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴有两个交点； 当04 2 acb时，抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴有 1 个交点（顶点） ； 当04 2 acb时，抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴无交点； （3）当04 2 acb时： 当0a 时，图象落在x轴的上方，0y 恒成立； 当0a时，图象落在x轴的下方，0y恒成立； 四、反比例函数四、反比例函数 1. 定义：一般地，形如定义：一般地，形如)0( x x k y的函数，称为反比例函数的函数，称为反比例函数. 2. 图像与性质：图像与性质： 函数解析
7、式函数解析式0k0k 第 4 页 共 8 页 x k y 性质性质 定义域),0()0,(),0()0,( 值域),0()0,(),0()0,( 单调性单减区间：单减区间：),0()0,(，单增区间：单增区间：),0()0,(， 奇偶性奇函数奇函数奇函数奇函数 对称性对称中心：对称中心：)0,0(对称中心：对称中心：)0,0( 五、指数函数五、指数函数 1. 定义：函数) 1, 0(aaay x 且，x为自变量，函数定义域为R. 2. 图像与性质： 10 a1a 图像 定义域R 值域 )0(， 性质 （1）过定点（0，1） ，即1,0yx时 （2）在R上为减函数（2）在R上为增函数 六、对数函
8、数六、对数函数 1. 定义：函数) 1,0(logaaxy a 且，x为自变量，函数定义域为),0(. 2. 图像与性质： 10 a1a 第 5 页 共 8 页 图像 定义域(0,+) 值域R 性质 （1）过定点（1，0） ，即0,1yx时 （2）在),0(上为减函数（2）在),0(上为增函数 七、幂函数七、幂函数 1. 定义：形如 xy 叫做幂函数，其中x是自变量，为常数. 2. 几种常见幂函数的图像 3. 几种常见幂函数.的图像与性质 幂函数 性质 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1- xy 第 6 页 共 8 页 图像 定义域RRR0，+）x|x0 值域R0，+）R0，+）y|y
9、0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增函数 在(-,0是减 函数， 在0， +） 是增函数 增函数增函数 在(-,0)是减 函数， 在(0， +） 是增函数 定点（0,0） ， （1,1）（1,1） 八、对勾函数八、对勾函数 1. 定义：定义： 2. 图像与性质：图像与性质： 解析式 )0,0()(ba x b axxf 图像 性质 定义域 0 xx 值域 ),22,(abab 单调性 单调增区间：),( , ),( a b a b 第 7 页 共 8 页 单调减区间：)0( , )0( a b a b ， 奇偶性奇函数 对称性 对称中心：)0,0( 九、分式函数九、分式函数
10、 1. 定义：一般地，形如：( )() axb f xadcb cxd 叫做分式函数. 2. 图像与性质： 图象是以直线, da xy cc （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,) d a c c ，通常用代点法确定两支 双曲线的位置。例如： 21 35 x y x 的图象如图所示： 十、三角函数十、三角函数 1. 定义：正弦函数xysin，余弦函数xycos，正切函数xytan. 2. 图像与性质： sinyx cosyxtanyx 图象 定义域RR, 2 x xkk 函 数 性 质 第 8 页 共 8 页 值域1,11,1R 最值 当2 2 xk k 时， max 1y；当 2 2 xk k 时， min 1y 当2xkk时， max 1y；当2xk k 时， min 1y 既无最大值也无最小值 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk k 上是增函数；在 3 2,2 22 kk k 上是减函数 在2,2kkk上 是增函数； 在2,2kk k 上是减函数 在, 22 kk k 上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心,0 2 k k 无对称轴
