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1、江苏省连云港灌云县第一中学高中数学 2.4 向量的数量积(2)教案 新人教A版必修1江苏省连云港灌云县第一中学高中数学 三角函数复习与小结教案 新人教A版必修1教学目标:1掌握平面向量数量积运算规律,能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;2掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题;3通过师生互动,学生自主探究、交流与合作,培养学生探求新知及合作能力教学重点:运算律的理解和平面向量数量积的应用教学难点:平面向量的数量积运算律的理解教学方法:引导发现、合作探究教学过程: 一、复习导引复习提问:1(1)两个非零向量夹角的概念;(2)平面向量数量积的
2、定义;(3)“投影”的概念;(4)向量数量积的几何意义;(5)两个向量的数量积的性质2判断下列各题正确与否:若,则对任一向量,有; ( ) 若,则对任一非零向量,有; ( )若,则; ( )若,则至少有一个为零向量; ( )若,则当且仅当时成立; ( )对任意向量,有 ( ) 二、学生活动问题1已知实数,(),则.=是否成立?问题2实数的运算律有ab=ba;a(b+c)=ab+ac;(ab)c=a(bc)在向量的数量积中是否成立?(举例说明)三、建构数学1数量积的运算律(证明的过程可根据学生的实际水平决定)(1)交换律:;证明:设夹角为,则,(2)数乘结合律:证明:若,此式显然成立若, ,若,
3、qq1q2ABOA1B1C综上可知成立(3)分配律: 在平面内取一点,作=, =,=, (即)在方向上的投影等于在方向上的投影和,即: , 即:说明:(1)一般地,()()(2),(3)有如下常用性质:|,()()(),2向量的数量积不满足结合律分析:若有()(),设、夹角为,、夹角为,则()|cos,()|cos,若,则|,进而有:()(),这是一种特殊情形,一般情况下不成立举反例如下:已知|,|,|,与夹角是60,与夹角是45,()(|cos60),()(|cos45)而,故()()四、数学运用1例题例1已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角例2求证:平行四边形两条对角线平方和等于
4、四条边的平方和变式1用向量方法证明:菱形对角线互相垂直变式2如图,是的三条高,求证:相交于一点ABCDEFH变式3用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点例3 四边形中,=,=,=,且,试问四边形是什么图形?例4 设与是夹角为60,且|,是否存在满足条件的,使|+|=2|-|?请说明理由2巩固 (1)已知|=1,|=,(1)-与垂直,则的夹角是_; (2)若,; (3)若、的夹角为,则|+|;(2)已知|=2,|=1,与之间的夹角为,那么向量-4的模为_;|-4|-|(3)设、是两个单位向量,其夹角为,求向量=2+与=2-3的夹角;(4)对于两个非零向量,当的模取最小值时,求的值;求证:与垂直五、回顾反思通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的重要性质解决相关问题- 4 - / 4