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1、学 海 无 涯 直线方程公式 1.斜率公式 若直线的倾斜角为（001800）, 则 k=tan ( ) 2,若直线过点 P1 (x1, y1 ) 和 P2 (x2 , y2 ) 两点.,21,则k y2 y1,x x,解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点 P1（x1,y1），P2（x2,y2）的中点 P0（x0,y0），则 x0=（x1+ x2）/2，y0=（y1+ y2）/2。,2.方向向量坐标 ：,y,xx,p p,1 1,21,21,12,2121, y 1, k ,x xx x,两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 若l1 : y k1x b1 ， l2 : y k
2、2 x b2 ，则 l1l2 充要条件是 k1=k2,且 b1b2。 若 l1：x=x1， l2：x=x2，则 l1l2 充要条件是 x1x2。 不重合的两条直线 l1、l2 倾斜角分别为1、2，则 l1l2 充要条件是1=2。 （4）l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，且 A1、A2、B1、B2 都不为零，则 l1l2,12,222,ABC,充要条件是 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C10（或 A1C2-A2C10）。l | l A1 B1 C1 。,【2】两直线垂直的判断 （1）若l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 ，则
3、l1l2 充要条件是 k1k2=-1。 若 l1 的斜率不存在，则 l1l2 充要条件是 l2 的斜率为零。 两条直线 l1、l2 倾斜角分别为1、2，则 l1l2 充要条件是 a1 - a 2 =900。 （4）l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，且 A1、A2、B1、B2 都不为零，则 l1l2 充要条件是 A1A2+B1B2=0。 【3】两直线相交的判断 两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。 （4）直线 l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A
4、2x+B2y+C2=0，则 A1B2-A2B10 是两直线相交的 充要条件。,1,学 海 无 涯 【4】两直线重合的判断 当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0（或 A1C2-A2C1=0）时，两直线重合。 4.直线的五种方程 （1）点斜式 y y1 k(x x1 ) (直线l 过点 P1 (x1, y1 ) ，且斜率为k ) （2）斜截式 y kx b (b 为直线l 在 y 轴上的截距).,（3）两点式,1,1,2121,y yx x,y yx x,( y1 y2 )( P1 (x1, y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) (
5、x1 x2 ).,(4)截距式 x y 1( a、b 分别为直线的横、纵截距， a、b 0 ),ab （5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).,5.“到角”及“夹角”公式 ： （1）夹角公式（ l1 与l2 的角）,(1) tan | k2 k1 | .,1 k2k1 ( l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 , k1k2 1),(2) tan | A1B2 A2 B1 | .,12,12,2,A1 A2 B1B2 ( l1 : A1x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0 , A1 A2 B1B2 0 ). ,直线
6、l l 时，直线 l 与 l 的夹角是.,（2） l1 到l2 的角公式,(1) tan k2 k1 .,1 k2k1 ( l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 , k1k2 1),(2) tan A1B2 A2 B1 .,2,A1 A2 B1B2 ( l1 : A1x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0 , A1 A2 B1B2 0 ).,学 海 无 涯,12,2,直线l l 时，直线 l1 到 l2 的角是.,对称问题 【1】关于点对称问题 求已知点关于点的对称点 P（x1，y1）关于点 Q（x0，y0）的对称点为（2 x0- x1，2
7、 y0- y1）。 直线关于点的对称直线 设 l 的方程为：Ax+By+C=0（A2+B20）和点 P（x0，y0），求 l 关于 P 点的对称直线方 程。设 P1（x1，y1）是对称直线 l1 任意一点，它关于 P（x0，y0）的对称点（2 x0- x1，2 y0- y1） 在直线 l 上，代入得 A（2 x0- x1）+B（2 y0- y1）+C=0，即 Ax1+By1+C1=0 为所求对称直线的 方程。与已知方程平行。 常见和对称结论有：设直线 l：Ax+By+C=0： l 关于 x 轴的对称直线是 Ax+B（-y）+C=0 l 关于 y 轴的对称直线是 A（- x）x+By+C=0 l
8、 关于原点的对称直线是 A（- x）x+B（-y）+C=0 l 关于 y=x 的对称直线是 Bx+Ay+C=0 l 关于 y=-x 的对称直线是 A（-y）+B（- x）+C=0 【2】关于直线对称问题 （1）点关于直线的对称点 设 P（x0，y0），l：Ax+By+C=0（A2+B20），若 P 关于 l 的对称点的坐标 Q 为（x，y），,则l 是PQ 的垂直平分线，即PQl，PQ 的中点在l 上，解方程组,3, ,22,1,0,0, C 0,A x x0 B y y0,B ,A , x x, y y,可得 Q 点坐标。 点 A（x，y）关于直线 x+y+c=0 的对称点 A1 的坐标为（
9、-y-c, -x-c），关于直线 x-y+c=0 的对称点 A2 的坐标为（y-c, x+c），曲线（f x,y）=0 关于直线 x+y+c=0 的对称曲线为（f -y-c, -x-c） =0，关于直线 x-y+c=0 的对称曲线为 f（y-c, x+c）=0。 一般地，点 A（a,b）关于 x 轴的对称点的坐标为 A1（a,-b），关于 y 轴的对称点的坐 标为 A2（-a,b），关于 y=x 轴的对称点的坐标为 A3（b,a），关于 y=-x 轴的对称点的坐标为 A4 （-b,a），关于x=m 轴的对称点的坐标为A（5 2m-a,b），关于y=n 轴的对称点的坐标为A（6 a,2n-b）。
10、 （2）直线关于直线的对称直线,学 海 无 涯 若直线 a、b 关于直线 l 对称，它们具有下列几何性质： 若 a、b 相交，则 l 是 a、b 夹角的平分线； 若点 A 在直线 a 上，那么点 A 关于直线 l 的对称点 B 一定在直线 b 上，这时，ABl 且 AB 中点 D 在 l 上； a 以 l 为轴旋转 1800 一定与 b 重合。 7、两点间的距离公式,x,1,，,yy,x,22,2,若点 A,B,yy,21,x2x1,则 AB ,即终点坐标-始点坐标,y,y,xx,21,21,2,2,AB ,2 x2 y,若a x, y a 8.点到直线间的距离公式,y,x,0,0,点 p,到
11、l : Ax+By+C=0 的距离为,A2 B2,A x0 B y C d 0,点到几种特殊直线的距离： 点 P（x0，y0）到 x 轴的距离 d= y0 ， 点 P（x0，y0）到 y 轴的距离 d= x0 ， 点 P（x0，y0）与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d= y0 a ， 点 P（x0，y0）与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d= x0 b 。 9.平行线间的距离公式,l1 : Ax By C1 0,22,cc,12,与l : Ax By C 0,的距离为,A2 B2,4,c1 c2,d ,四种常用直线系方程 定点直线系方程：经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系
12、方程为 y y0 k(x x0 ) (除直线 x x0 ), 其中k 是待定的系数; 经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为 A(x x0 ) B( y y0 ) 0 ,其中 A, B 是待定的系数,学 海 无 涯 共点直线系方程：经过两直线l1 : A1x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0 的交点的直 线系方程为( A1x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0 (除l2 )，其中是待定的系数 平行直线系方程：直线 y kx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方 程与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By 0 ( 0 )，是参变量 垂直直线系方程：与直线 Ax By C 0 (A0，B0)垂直的直线系方程是 Bx Ay 0,是参变量 11、求最大值与最小值 在直线 l 上求一点 P 使 PA PB 取得最小值时，“同侧对称异侧连”，即两点位于直线 的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。 在直线 l 上求一点 P 使 PA PB 取得最大值时，“异侧对称同侧连”。,5,
