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1、学 海 无 涯 导数,经典例题剖析 考点一：求导公式。,3,例 1. f (x) 是 f (x) 1 x3 2x 1 的导函数，则 f (1) 的值是,。,考点二：导数的几何意义。,2,1,例 2. 已知函数 y f (x) 的图象在点 M (1，f (1) 处的切线方程是 y 1 x 2 ，则,f (1) f (1) 。 例 3.曲线 y x3 2x2 4x 2 在点(1， 3) 处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线 C： y x3 3x 2 2x ，直线 l : y kx ，且直线 l 与曲线 C 相切于点 x0 , y0 x0 0 ，求直线l 的方程及切点
2、坐标。 考点四：函数的单调性。 例 5.已知 f x ax3 3x2 x 1在 R 上是减函数，求a 的取值范围。 例 6. 设函数 f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值。 求 a、b 的值； 若对于任意的 x 0，3，都有 f (x) c2 成立，求 c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 f x 的极值步骤：求导数 f x； 求 f x 0 的根；将 f x 0 的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f x 在各 区间上取值的正负可确定并求出函数 f x 的极值。 例 7. 已知a 为实数， f x x2 4x a。求导数
3、f x；（2）若 f 1 0 ，求 f x 在区间 2,2上的最大值和最小值。,学 海 无 涯 解析：（1） f x x3 ax2 4x 4a ， f x 3x2 2ax 4 。,2,（2） f 1 3 2a 4 0 ， a 1 。 f x 3x2 x 4 3x 4x 1,3,4,令 f x 0 ，即3x 4x 1 0 ，解得 x 1或 x ，则 f x 和 f x在区间 2,2,上随 x 的变化情况如下表：,2,2727, 3 3 ,f 1 9 ， f 4 50 。所以， f x 在区间 2,2上的最大值为 f 4 50 ，最,2,小值为 f 1 9 。, 3 ,272,答案：（1）f x
4、3x2 2ax 4 ；（2）最大值为 f 4 50 ，最小值为 f 1 9 。,点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 f x 在区间a,b上的最值，要先求 出函数 f x 在区间a, b上的极值，然后与 f a和 f b进行比较，从而得出函数的最大最 小值。 考点七：导数的综合性问题。 例 8. 设函数 f (x) ax3 bx c (a 0) 为奇函数，其图象在点(1, f (1) 处的切线与直线 x 6y 7 0 垂直，导函数 f (x) 的最小值为12 。（1）求a ， b ， c 的值； （2）求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 f (x) 在1,3 上的最大值和最小
5、值。 解析： （1） f (x) 为奇函数， f (x) f (x) ，即ax3 bx c ax3 bx c c 0 ， f (x) 3ax2 b 的最小值为12 ， b 12 ，又直线 x 6y 7 0 1 的斜率为，因此， f (1) 3a b 6， a 2 ， b 12 ， c 0 6 （2） f (x) 2x3 12x 。 f (x) 6x2 12 6(x 2)(x 2) ，列表如下：,2,学 海 无 涯,所以函数 f (x) 的单调增区间是 (, 2) 和 ( 2, ) ， f (1) 10 ， f ( 2) 8 2 ， f (3) 18 ， f (x) 在1,3 上的最大值是 f
6、(3) 18 ， 最小值是 f ( 2) 8 2 。 答案：（1）a 2 ，b 12 ，c 0 ；（2）最大值是 f (3) 18，最小值是 f ( 2) 8 2 。 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。 导数强化训练 （一） 选择题,x2,1,3,1. 已知曲线 y 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）,A1,4 B2,2 C3D4,（B）,2. 曲线 y x3 3x2 1在点（1，1）处的切线方程为 A y 3x 4B y 3x 2 C y 4x 3,D y 4x 5,函数 y (x 1)2 (x 1) 在 x 1处的导
7、数等于（ D） A1B2C3D4 已知函数 f (x)在x 1处的导数为3,则f (x) 的解析式可能为（A） A f (x) (x 1)2 3(x 1)B f (x) 2(x 1) C f (x) 2(x 1)2 D f (x) x 1 函数 f (x) x3 ax2 3x 9 ，已知 f (x) 在 x 3 时取得极值，则a =（ D） （A）2（B）3（C）4（D）5 函数 f (x) x3 3x2 1是减函数的区间为(D) （） (2, ) （） (, 2) （） (,0) （） (0, 2),学 海 无 涯 7. 若函数 f x x 2 bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f
8、x的图象是（A）,3,8. 函数 f (x) 2x2 1 x3 在区间0 , 6 上的最大值是（ A ）,A,32,16,3,BC12,D 9,9.,函数 y, x3 3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m, n 为,（A）,A0B1C2D4 10. 三次函数 f x ax3 x 在 x ,内是增函数，则（A,）,3,A a 0B a 0C a 1D a 1,11. 在函数 y x3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数 4,是,A3B2,（D） C1D0,12. 函数 f (x) 的定义域为开区间(a,b)，导函数 f (x) 在(a,b) 内的图象如图所示，则
9、函数 f (x) 在开区间(a,b) 内有极小值点（ A）,A1 个 C3 个,B2 个 D 4 个,（二） 填空题,13. 曲线 y x3 在点1,1处的切线与 x 轴、直 线 x 2 所围成的三角形的面积为 。,33,14. 已知曲线 y 1 x3 4 ， 则过点 P(2, 4) “ 改为在点 P(2, 4) ” 的切线方程是,已知 f (n) (x) 是对函数 f (x) 连续进行 n 次求导，若 f (x) x6 x5 ，对于任意 x R ， 都有 f (n) (x) =0，则 n 的最少值为 。 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元次，一年的总存储
10、 费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 吨 （三） 解答题 已知函数 f x x3 ax2 bx c ，当 x 1时，取得极大值 7；当 x 3 时，取得极 小值求这个极小值及a,b, c 的值,ox 3,A,x,y,o,D,x,yy,C,y,oxo,B,a,4,b,x,y,y f (x),O,学 海 无 涯,18. 已知函数 f (x) x3 3x2 9x a. 求 f (x) 的单调减区间； 若 f (x) 在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.,19. 设t 0 ，点P（ t ，0）是函数 f (x) x3 ax与g(x) bx2 c 的图象
11、的一个公共点， 两函数的图象在点P 处有相同的切线。 用t 表示a,b, c ； 若函数 y f (x) g(x) 在（1，3）上单调递减，求t 的取值范围。 20. 设函数 f x x3 bx2 cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x) 是奇函数。 求b 、c 的值。 求 g(x) 的单调区间与极值。 21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问 该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？,22. 已知函数 f (x) 1 x3 1 ax2 bx 在区间1，1) ， (1，3内各有一个极值点,32 （1）求a
12、2 4b 的最大值；,（1） 当 a2 4b 8时，设函数 y f (x) 在点 A(1，f (1) 处的切线为l ，若l 在点 A 处穿 过函数 y f (x) 的图象（即动点在点 A 附近沿曲线 y f (x) 运动，经过点 A 时， 从l 的一侧进入另一侧），求函数 f (x) 的表达式 强化训练答案： 1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A （四） 填空题,13.,8 3,5,14. y 4x 4 0,15. 716. 20,（五） 解答题 17. 解： f x 3x2 2ax b 。 据题意，1，3 是方程3x2 2ax
13、b 0 的两个根，由韦达定理得,学 海 无 涯,6, , 1 3 ,3,b 3, 1 3 2a, a 3,b 9 f x x3 3x2 9x c f 1 7 ， c 2 极小值 f 3 33 3 32 9 3 2 25 极小值为25， a 3,b 9， c 2 。 18. 解：（1） f (x) 3x2 6x 9. 令 f (x) 0，解得 x 1或x 3, 所以函数 f (x) 的单调递减区间为(,1),(3,). （2）因为 f (2) 8 12 18 a 2 a, f (2) 8 12 18 a 22 a, 所以 f (2) f (2). 因为在（1，3）上 f (x) 0，所以 f (
14、x) 在1，2上单调递增，又由 于 f (x) 在2，1上单调递减，因此 f (2) 和 f (1) 分别是 f (x) 在区间 2,2上的最大值和最小 值.于是有 22 a 20 ，解得 a 2. 故 f (x) x3 3x2 9x 2. 因此 f (1) 1 3 9 2 7, 即函数 f (x) 在区间 2,2上的最小值为7. 19. 解：（1）因为函数 f (x) ， g(x) 的图象都过点（ t ，0），所以 f (t) 0 ， 即t 3 at 0 .因为t 0, 所以 a t 2 . g(t) 0,即bt 2 c 0, 所以c ab. 又因为 f (x) ， g(x) 在点（ t ，
15、0）处有相同的切线，所以 f (t) g(t). 而 f (x) 3x2 a, g(x) 2bx,所以3t 2 a 2bt. 将 a t 2 代入上式得b t. 因此c ab t 3. 故 a t 2 ， b t ， c t 3. （2） y f (x) g(x) x3 t 2 x tx 2 t 3 , y 3x2 2tx t 2 (3x t)(x t) . 当 y (3x t)(x t) 0时，函数 y f (x) g(x) 单调递减.,学 海 无 涯 由 y 0 ，若t 0,则 t x t ；若t 0,则t x t . 33 由题意，函数 y f (x) g(x) 在（1，3）上单调递减，则,333,ttt,(1,3) ( ,t)或(1,3) (t, ). 所以t 3或 3.即t 9或t 3.,又当 9 t 3时，函数 y f (x) g(x) 在（1，3）上单调递减. 所以t 的取值范围为(,9 3,). 20. 解：（1） f x x3 bx2 cx ， f x 3x2 2bx c 。从而 g(x) f (x) f (x) x3 bx2 cx (3x2 2bx c) x3 (b 3)x2 (c 2b)x c 是一 个奇函数，所以 g(0) 0 得 c 0 ，由奇函数定义得b 3 ； （2）由（）知 g(x) x3 6x ，从而 g(x) 3x2 6 ，
