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1、学 海 无 涯 北师大版数学七年级下册知识点总结 第一章整式的乘除 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也 是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的 次数叫多项式的次数。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、同底数幂的乘法法则： am an amn （ m, n 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：底数可以是多项式或单项式。 如： (a b)2 (a b)
2、3 (a b)5 5、幂的乘方法则： (am )n amn （ m, n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： (35 )2 310 幂的乘方法则可以逆用：即amn (am )n (an )m 如： 46 (42 )3 (43 )2 6、积的乘方法则：(ab)n anbn （ n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（ 2x3 y 2 z)5 = (2)5 (x3 )5 ( y 2 )5 z5 32 x15 y10 z5 7、同底数幂的除法法则： am an amn （ a 0, m, n 都是正整数，且m n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab)4 (a
3、b) (ab)3 a3b3 8、零指数和负指数； a0 1 ，（0）即任何不等于零的数的零次方等于 1。,1 a p,- 1 -,a p ,（ a 0, p 是正整数），即一个不等于零的数的 p 次方等于这个数的 p 次方的倒,数。,- 2 -,学 海 无 涯 9、科学记数法：如：0.00000721= 7.2110-6 （第一个非零数字前零的个数） 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余 字母连同它的指数不变，作为积的因式。 注意： 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 只在一个单项式里含
4、有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 11、单项式乘以多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a b c) ma mb mc( m, a,b,c 都是单项式) 注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 12、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 13、单项式的除法法则： 单
5、项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数一起作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字 母，则连同它的指数作为商的一个因式 14、多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即： (am bm cm) m am m bm m cm m a b c 15、整式乘法公式： （1）平方差公式： (a b)(a b) a2 b2 公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同）,学 海 无 涯 （2）完全平方公式： (a b)2 a
6、2 2ab b2(a b)2 a2 2ab b2 逆用： a2 2ab b2 (a b)2 , a2 2ab b2 (a b)2. 完全平方公式变形（知二求一）：,a2 b2 (a b)2 2ab,a2 b2 (a b)2 2ab,2,a2 b2 1 (a b)2 (a b)2 ,2,a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab 1 (a b)2 (a b)2 ,4,(a b)2 (a b)2 4abab 1 (a b)2 (a b)2 ,（3）常用变形： (x y）2n =(y-x)2n , (x y）2n1 =-(y-x)2n+1,第二章相交线与平行线 1、两条直线的位置关系 在
7、同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行（表示符号“/”） 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里， 我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公 共点的个数来确定： 有且只有一个公共点，两直线相交； 无公共点，则两直线平行； 两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 2、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线 的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。 3、余角：定义：如果两个角的和是 900，那么称这两个角互为余角。 性质：同角或等角的余角
8、相等。 4、补角：定义：如果两个角的和是 1800，那么称这两个角互为补角。 性质：同角或等角的补角相等。（了解邻补角） 5、垂线 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线,- 3 -,学 海 无 涯 互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“”。符 号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O: 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 6、垂线的画法： 过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：画一条线段或射线的垂线，就
9、是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂 足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例） 用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标” 如图1，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D. “一落”： 将三角板一条直角边紧贴已知直线上. 我们要过点A作线段BC的垂线，获得垂线段AD，可先用三角板的一条直角边与BC重合在一起， 另一条直角边落在点A的同一侧；不盖住点A(如图2) “二过”： 使三角板的另一直角边经过已知点 用铅笔尖点住A点，使三角板保持与BC重合，沿线段BC慢慢移动，到三角板的另一直角边刚好
10、 靠近点A(铅笔尖)时停下来。(如图3) “三画”： 沿已知点所在直角边画直线 按紧平移后的三角板，用铅笔从A点开始沿这条直角边画直线，很明显这条直线不与线段BC相 交，于是我们只需把BC延长(或反向延长)与这条直线相交(如图4) “四标”：标出直角标号“” 由画出的延长线与作的直线相交而获得了垂足，我们可在交点处标上垂直符号“”，并标上 字母符号“D“(如图4)到此，垂线段AD便作出了,图 1,- 4 -,图 2,图 3,图 4,学 海 无 涯,7、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图，POAB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂
11、线段。PO 是点 P 到 直线 AB 所有线段中最短的一条。 注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 二、两条线平行的条件 1、两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角。（三线八角） 2、同位角、内错角、同旁内角：直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说 两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截），构成八个角。其中1 与 5 这两个角分别在 AB，CD 的上方，并且在 EF 的同侧，像这样位置相同 的一对角叫做同位角；3 与5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；3 与6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 E
12、F 的同 侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。 同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做 同位角。 内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内 错角。 同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同 旁内角。 2、平行线的判定：注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着 内在的联系 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线 平行。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线
13、平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两 直线平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行线的定义：如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行,- 5 -,学 海 无 涯 （2）平行于同一条直线的两直线平行。 3、平行线的画法： 利用三角板的平移画平行线，其画法可以总结为：“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”. 一落：三角板的一边落在已知直线； 二靠：靠紧三角板的另一边放上另一块三角板； 三移：使第一块三角板沿着第二块三角板移动，使其经过原直线的一边经过已知点； 四画：沿三角板过已知点的一边画出直线.这时所画直线就一定与已知直线平行. 4、
14、平行公理平行线的存在性与唯一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记) 5、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内 角互补。 6、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 7、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小） 尺规作图：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。 即：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角 如上如图所示，求作一个角等于已知角AOB作法： 作射线 OA； 以 O 为圆心，以
15、任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； 以 O为圆心，以 OC 为半径作弧，交 OB于点 D； 以点 D为圆心，以 CD 为半径作弧，交前面的弧于点 C； 过 C作射线 OAAOB就是所求作的角,第三章 变量之间的关系 1、变量、自变量、因变量、常量 变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：如果一个变量 y 随另一个变量x 的变化而变化，则把 x 叫做自变量，y 叫做,- 6 -,学 海 无 涯,因变量。 注意：变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量， 它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变
16、量变动而引起变动的量， 它“依赖于”自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 2、函数的三种表示方法： 列表法（用表格） 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量 的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直 观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的 一部分。 解析法（关系式） 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的 值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值 图像法（用图象） 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量 x 与因变量 y 的每对对应值分别作为点的横坐标 与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做 平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直 观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是 不准确的。 3、三种方法的优缺点比较,3
